同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 离散傅里叶变换（2/7）

Q=、序)5底 周期序列:x(m)=x(n+rN) r为任意整数N为周期 连续周期函数: x(1)=x(t+kT)T为周期 a(k)e j92 基频:20=2/7 k次谐波分量:ek2 N为周期的周期序列: 基频:。=2z/N X(n)=∑A(k)ek k次谐波分量:eAm k

二 、周期序列的DFS及其性质 x(n) x(n rN) r N 周期序列：    为任意整数 为周期 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a a jk t a k x t x t kT T x t A k e           连续周期函数： 为周期 0 0 0 2 / jk t T k e   基频：  次谐波分量： 0 ( ) ( ) jk n k N x n A k e       为周期的周期序列： 0 0 2 / jk n N k e  基频：   次谐波分量：

周期序列的DS变换和反变换: X(k)=DFS[X(n)]=2i(n) N=2i(nW (m)=1DFS[X(k=∑ X(ke ∑(kmW N k=0 中:W=e

周期序列的DFS正变换和反变换： 1 2 1 0 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) N N j nk N nk N n n X k DFS x n x n e x n W                1 2 1 0 0 1 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) N N j nk N nk N k k x n IDFS X k X k e X k W N N                2 j N WN e   其中： 

例:已知序列x(n)是周期为6的周期序列, 如图所示,试求其DFS的系数 解:根据定义求解 (k)=∑(m)W n=0 ∑(n) 15 14+12e6+10e sk +8e6+6e6+10e (0)=60(1)=9-j338(2)=3+j (3)=0(4)=3-j3(5)=9+3

x(n) 6 DFS 例：已知序列 是周期为 的周期序列， 如图所示，试求其 的系数。 1 0 ( ) ( ) N nk N n X k x n W       解：根据定义求解 5 6 0 ( ) nk n x n W     2 2 2 6 6 2 2 2 3 4 5 6 6 6 14 12 10 8 6 10 j k j k j k j k j k e e e e e                 (0) 60 (1) 9 3 3 (2) 3 3 (3) 0 (4) 3 3 (5) 9 3 3 X X j X j X X j X j                

例!已知序列x(n)=R(n),将x(n)以N=8为周期 Q行周期延拓成()求x)的DFS 解法一:数值解 x(k)=∑(n)W n ∑(n)W=∑W 0 10 k -3k e 8 +e e x0)=4x0)=1-(y2+)82)=0X()=1-(2 (4)=0X(5)=1+1y2-)X(6)=0X(7)=1+(2+

4 ( ) ( ), ( ) 8 ( ) ( ) x n R n x n N x n x n DFS     例：已知序列 将 以 为周期 进行周期延拓成 ，求 的 。 解法一：数值解 1 0 ( ) ( ) N nk N n X k x n W       7 8 0 ( ) nk n x n W     2 2 2 2 3 8 8 8 1 j k j k j k e e e           3 8 0 nk n W            (0) 4 (1) 1 2 1 (2) 0 (3) 1 2 1 (4) 0 (5) 1 2 1 (6) 0 (7) 1 2 1 X X j X X j X X j X X j                        

解法二:公式解 F()=DS[()-=∑x k- 4 ∑(n)e8=∑ n=0 k k k k k k Sin lK sin -k 10

    1 2 0 ( ) N j kn N n X k DFS x n x n e               解法二：公式解   7 2 8 0 j kn n x n e       3 4 0 j kn n e      2 2 2 8 8 8 j k j k j k j k j k j k e e e e e e                          4 4 4 1 1 j k j k e e         3 8 sin 2 sin 8 j k k e k     

X(k)与变换的关系: 令x(n)=((n)0≤n≤N-1 0 其它 对x(m)作z变换:X(=)=∑x(n)="=∑x(n)=n n=- R()=∑(m)W、=X(儿点 n=0 X(k)可看作是对x(n)的 个周期x(m)做z变换|-3 然后将2变换在z平面 2丌 单位圆上按等间隔角 k=0 Rel/ N 7(k=V1) 抽样得到

X k  z  与 变换的关系：     0 1 0 x n n N x n n         令 其它 对x n作z变换:       1 0 N n n n n X z x n z x n z                 2 1 0 j k k N N N nk N z W e n X k x n W X z            可看作是对 的 一个周期 做 变换 然后将 变换在 平面 单位圆上按等间隔角 抽样得到  X k   xn xn z z 2 N  z

DFS的性质 1、线性: 者x(k)=DFS[(n) X(k)=DESI,(n) 贝 DESLax, (n)+bx,(n)=ax,(k)+bx,(k) 其中,a,b为任意常数

DFS的性质 1、线性： 其中，a,b 为任意常数 1 1 X (k)  DFS[x (n)]   2 2 X (k)  DFS[x (n)]   若 1 2 1 2 DFS[ax (n) bx (n)]  aX (k ) bX (k )     则

Q2、序列的移位 k DFS[(n+m)=WN X(k=e X(k) 证:DFS[(n+m)=∑x(n+m)W 0 N-1 令i=n+m x(i) k(i-m Wm∑x()W=形mX(k) i=0

2、序列的移位 2 [ ( )] ( ) ( ) j mk mk N DF N S x n m W X k e X k         1 0 [ ( )] ( ) N nk N n DFS x n m x n m W   证：      1 ( ) ( ) N m k i m N i m x i W     令i  n  m    1 0 ( ) ( ) N mk ki mk N N N i W x i W W X k         

3、调制特性 DESWWNX(n)=X(k+l 证:DFS[W(m)=∑WMx(n)W ∑(n)W(n n=0 =X(k+1)

3、调制特性 [ ( )] ( ) nl DF N S W x n  X k l   1 0 [ ( )] ( ) N ln ln nk N N N n DFS W x n W x n W   证：     1 ( ) 0 ( ) N l k n N n x n W        X (k  l) 

Q4、周期卷积和 若Y(k)=X1(k)·2(k) 则(m)=1DFS(k)=∑(Om)(n-m) m=0 ∑x(m)(m-m)

4、周期卷积和 1 2 1 0 ( ) ( ) N m x m x n m        1 2 Y (k)  X (k) X (k) 若    1 1 2 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) N m y n IDFS Y k x m x n m   则       