《大学物理教程》课程教学资源（PPT课件讲稿，上册）第五章 角动量、角动量守恒定律 §5.2 角动量定理

上讲内容:三个基本概念 1.角动量 质点 L=×p=7×m 质点系=7XM+∑xm可=D轨道+旋 定轴刚体L2=0∑12m=o 2.转动惯量 ∑ r: m, J 3.力矩 M=×FM=+F×F∑M 内=0

上讲内容：三个基本概念 1.角动量 L r p r mv      质点 =  =  L r Mv r mi vi L 轨道 L 自旋 i c c i        质点系 =  +   = + 定轴刚体 L  r m J i z =  i i = 2 2. 转动惯量 =  i i mi J r 2 J r dm 2  = 3.力矩 M r F    =  =   F⊥ M r z    = 0 i Mi内 

§5.2角动量定理 角动量定理的微分形式 质点 L=r×P =e(rxp. dr dl d x p+rx F×F=M dt dt dt dt 质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩

§5.2 角动量定理 一、角动量定理的微分形式 1.质点 质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩 r F M t p p r t r r p t t L           =  =  +  =  = d d d d ( ) d d d d L r p    =  0

2.质点系 ∑=→∑+∑灬 ∑ =0 dl dt =∑×F州 质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受 外力矩的矢量和。 内力矩只改变质点系总角动量在系内的分配, 不影响总角动量

质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受 外力矩的矢量和。 内力矩只改变质点系总角动量在系内的分配， 不影响总角动量。 2.质点系 M外 ri Fi外 t L     = =  d i d  = = + i i i i i i M M t L L t 外 内     d d d d  = 0 i Mi内 

3.定轴刚体 dL对定轴 外 dt dt 由L=Ja得 dl, d do JJO)=J dt dt ds刚体定轴转 动定律 改变物体平动状态的原因 F=m-矢量式m是物体平动惯性的量度 1M=JB-标量式M.改变物体统轴转动状态的原因 是物体转动惯性的量度

3.定轴刚体 t L M d d   外 = t L M z z d d = 对定轴 由 Lz = J    J t J J t t L M z z = = = = d d ( ) d d d d 得 刚体定轴转 动定律    = = M J F ma z   －矢量式 －标量式 J 是物体转动惯性的量度。 是物体平动惯性的量度。 改变物体平动状态的原因 改变物体绕轴转动状态的原因 m F  Mz

M= 刚体定轴转动定律 例:一定滑轮的质量为m,半径为,一轻绳 两边分别系m1和m2两物体挂于滑轮上,绳不伸 长,绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦,初角 速度为零,求滑轮转动角速度随时间变化的规律。 已知:m,m1,m2,r,O0= 求:o(=? 思路:质点平动与刚体定轴转 动关联问题,隔离法,分别列 方程,先求角加速度,再 →)

Mz = J 刚体定轴转动定律 例: 一定滑轮的质量为 ，半径为 ，一轻绳 两边分别系 和 两物体挂于滑轮上，绳不伸 长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角 速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。 m m1 m2 r m2 m1 r m 已知： m, m1 , m2 , r, 0 = 0 求： (t) = ? 思路：质点平动与刚体定轴转 动关联问题，隔离法，分别列 方程，先求角加速度, 再  → 

解:在地面参考系中,分别以m,m2,m 为研究对象,用隔离法,分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。 以向下为正方向 m1:m19-71=m1a1(1) m18 以向上为正方向 m2:2-m2g=m102(2) m28 思考:a1=男2?7172因为滑轮加速转动

解：在地面参考系中，分别以 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。 m1 , m2 , m T1 a1  m1 g 以向下为正方向 a2  T2 m2 g 以向上为正方向 思考： ? ? a1 = a2 T1 =T2 1 1 1 1 1 m m g T m a : (1) − = 2 2 2 2 2 m T m g m a : (2) − =× 因为重滑轮加速转动

以顺时针方向为正方向 Tr-T2r=JB=mr B (3) 2 ng 四个未知数:a1=a2=a,T,T2,B 三个方程? 绳与滑轮间无相对滑动,由角量和线量的关系: 解得: m1-m2 g (m-m ) gt O=0+t= + m t-m Ir 11+m,+-m

r + T1 T2 N mg 以顺时针方向为正方向 四个未知数： 三个方程 ？ a1 = a2 = a, T1 , T2 ,  绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系： a = r (4) 解得： ( ) m m m r m m g       + + − = 2 1 1 2 1 2  ( ) m m m r m m gt t       + + − = + = 2 1 1 2 1 2  0  mr ( 3 ) 2 1 T r T r J 2 1 − 2 =  = 

练习 如图示,两物体质量分别为m1和m2,滑轮质量 为m,半径为F。已知m2与桌面间的滑动摩擦系 数为,求m1下落的加速度和两段绳中的张力。 Fo m m 解:在地面参考系中,选取m1、m2和滑轮为研究对 象,分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得:

如图示，两物体质量分别为 和 ，滑轮质量 为 ，半径为 。已知 与桌面间的滑动摩擦系 数为 ，求 下落的加速度和两段绳中的张力。 m1 m m2 r m2  m1 m2 m1  ro m 解：在地面参考系中，选取 、 和滑轮为研究对 象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得： m1 m2 练习

N 2 T 2 N 1mn28 向里+ 118 m2g 列方程如下: m,8-1=m,a 2-1m2g=m2 71-72F=m1y 可求解

m2 T2 a m2 g m2 g N m1 T1 a m1 g o T1 T2 Nx Ny 向里+ 列方程如下： 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 m g T m a T m g m a T r T r mr a r    − = − = − = 可求解 =