《大学物理教程》课程教学资源（PPT课件讲稿，上册）第三篇 相互作用和场 第九章 电相互作用和静电场 §9.3 高斯定理

§93高斯定理 电场线 E:空间矢量函数 定量研究电场:对给定场源电荷求出其分布函数E() 定性描述电场整体分布:电场线方法 电 其上每点切向:该点方向 场〈通过垂直的单位面积的条数等于场强的大小, 即其疏密与场强的大小成正比 引入场线(力线)求空间矢量的通量和环流是描述 空间矢量场的一般方法

§9.3 高斯定理 一.电场线 ：空间矢量函数 定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数 定性描述电场整体分布：电场线方法 E  E(r)  引入场线（力线）求空间矢量的通量和环流是描述 空间矢量场的一般方法。 其上每点切向: 该点 方向 E  电 场 线 通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小， 即其疏密与场强的大小成正比 . E 

实例: 有限长均匀带电 电偶极子的电场线 直线的电场线 法拉第:在空间寻找力的载体,提出场的概念 并设想空间贯穿着力线,来描述场。 麦克斯韦:总结出法拉第力线描述的数学形式 建立严密的电磁场方程

有限长均匀带电 直线的电场线 + q 实例： 电偶极子的电场线  + - 法拉第： 在空间寻找力的载体，提出场的概念， 并设想空间贯穿着力线，来描述场。 麦克斯韦：总结出法拉第力线描述的数学形式. 建立严密的电磁场方程

电通量 通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过 该面的电通量 面积元矢量:dS=dSn E面积元范围内E视为均匀 微元分析法:以平代曲; 以不变代变。 S 1)通过面元的电通量: do eds= e(ds cos0)=eds

二. 电通量 通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过 该面的电通量。 面积元矢量： d d n   S = S 面积元范围内 E 视为均匀  微元分析法：以平代曲； 以不变代变。 1) 通过面元的电通量： E S E S E S e   d = d = (d cos ) = d  ⊥   S  d dS E  S

1)通过面元的电通量: edoe=EdS,=e(dS cos 0)=EdS do.>o b 。<0 S O 2π2 p。=0 2)通过曲面S的电通量=dv=[EdS 3)通过封闭曲面的电通量=∮EdS

  = =  s s e e E S    d d 2) 通过曲面 S 的电通量  S  d dS E  S 1) 通过面元的电通量： E S E S E S e   d = d = (d cos ) = d  ⊥  d 0 2 d 0 2 d 0 2 = =     e e e          3) 通过封闭曲面的电通量  =  s e E S    d

通过封闭曲面的电通量 如=中E·dS 规定:封闭曲面外法向为正 S 穿入的电场线0 练习1:空间有点电荷q,求下列情况下穿过曲面的电通量 1)曲面为以电荷为中心的球面 2)曲面为包围电荷的任意封闭曲面 3)曲面为不包围电荷的任意封闭曲面

通过封闭曲面的电通量  =  s e E S    d 规定：封闭曲面外法向为正 穿入的电场线 穿出的电场线 0 0   e e   练习1：空间有点电荷q ，求下列情况下穿过曲面的电通量 1) 曲面为以电荷为中心的球面 2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面 3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面 E n   n  n  S

)曲面为以电荷为中心的球面 E E >0 S →S q<0:。<0 =EdS=∮dS 4n6r34兀s 2=9 E无关 单个点电荷场中,由+q发出的电场线延伸到∞, 由而来的电场线到-q终止。在无电荷处,电场线 不中断、不增加

1) 曲面为以电荷为中心的球面 q  0 S E  r q  0 : e  0 q  0 : e  0    = =  =  = 0 2 0 3 0 d 4 4 d d       q S r q r qr S e E S     与 r 无关 单个点电荷场中，由 +q 发出的电场线延伸到 ， 由 而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线 不中断、不增加。   q  0 S E  r

2)曲面为包围电荷的任意封闭曲面 E E q>0:>0 q es q<0:。<0

q S E  S 2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面 S q S E  0    q es = es = q  0 : e  0 q  0 : e  0

3)曲面为不包围电荷的任意封闭曲面 0 es 结论 E·dS q/≈o(q在S内) O (q在S外) 思考:1)是否存在q怡好在S面上的情况? 高斯面是无厚度的数学面。在其附近,任何实际的 带电体均不能简化为点电荷。所以,只可能存在q在外、 在S内,或一部分在S外,一部分在S內的情况,而没有q 恰好在S上的情况

S q E  3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面 es  = 0 结论：  =  = s e E S    d ( ) ( 在 外) 在 内 q S q q S 0  0 思考：1）是否存在 q 恰好在 S 面上的情况？ 高斯面是无厚度的数学面。在其附近，任何实际的 带电体均不能简化为点电荷。所以，只可能存在q在S外、 在S内，或一部分在S外，一部分在S内的情况，而没有q 恰好在S上的情况

2)上述结论与库仑定律Fc1有何关系? 正是由于库仑定律的平方反比关系,才能得到 穿过高斯面的电通量计算结果与r无关,所以高 斯定理是库仑定律平方反比关系的反映。 练习:空间有点电荷系q1q2…qn,求穿过空 间任意封闭曲面S的电通量 曲面上各点处电场强度 E1+E2+…+En og 包括S内、S外,所有电荷的贡献

2）上述结论与库仑定律 有何关系？ 2 F  1 r 正是由于库仑定律的平方反比关系，才能得到 穿过高斯面的电通量计算结果与 r 无关，所以高 斯定理是库仑定律平方反比关系的反映。 练习：空间有点电荷系 ，求穿过空 间任意封闭曲面 S 的电通量 q q qn , ... 1 2 1 q 2 q n q S 曲面上各点处电场强度： E E E En      = 1 + 2 + + 包括 S 内、S 外，所有电荷的贡献

S ou2 穿过S的电通量: 0=EdS于E、S+E2S+…+手E,dS 如+2+…+m=∑q 只有S内的电荷对穿过S的电通量有贡献。 练习3:请总结穿过静电场中任意封闭曲面的 电通量与空间电荷分布的关系

穿过 S 的电通量：      = + + + = =  =  +  + +  q 内 E S E S E S E S e e en n s e 0 1 2 1 2 1 d d d d                只有 S 内的电荷对穿过 S 的电通量有贡献。 练习3：请总结穿过静电场中任意封闭曲面的 电通量与空间电荷分布的关系。 q1 q2 qn S