西北农林科技大学：《计算土力学》第四章 有限单元法

计算土力学 主讲教师:张爱军

计算土力学 主讲教师：张爱军

第4章有限单元法 ■有限元法同差分法一样,也是一种数值 近似方法,用于求解在给定定解条件下 的偏微分方程。 服-1960年 RW Clough正式提出“有限单元 法”FEM这个概念,1967年 o c Zienkiewicz 和 YK Cheung(张佑启)写出了第一本有 限元专著,标志着有限单元法正式走向 实用

第4章 有限单元法 ◼ 有限元法同差分法一样，也是一种数值 近似方法，用于求解在给定定解条件下 的偏微分方程。 ◼ 1960年R.W Clough正式提出“有限单元 法”FEM这个概念，1967年O.C Zienkiewicz 和Y.K Cheung(张佑启)写出了第一本有 限元专著，标志着有限单元法正式走向 实用

有限元法在岩土工程中有较为广泛的应 用,主要有以下几个方面 ◆稳定分析(强度折减法分析边坡稳定 性) ◆固结分析(2、3维) ◆总应力变形、应力分析(2、3维) ◆动力分析(地震、振动、爆破冲击) ◆渗流分析(2、3维) ◆动力固结分析(难)

◼ 有限元法在岩土工程中有较为广泛的应 用，主要有以下几个方面： ◆稳定分析（强度折减法分析边坡稳定 性） ◆固结分析（2、3维） ◆总应力变形、应力分析（2、3维） ◆动力分析（地震、振动、爆破冲击） ◆渗流分析（2、3维） ◆动力固结分析（难）

本章主要讲解有限元的基本方法与思路 具体有限格式的构造,在其他章节中详 细叙述

◼ 本章主要讲解有限元的基本方法与思路， 具体有限格式的构造，在其他章节中详 细叙述

§4.1概述 有限单元法的实质 有限单元法是求解连续区域内的边值问题和初 值问题的数值方法。其实质是将分析区连续的 域V和边界S离散成为有限个只在结点连接的子 域V和面域Se(每个子域称为一个有限单元, 各个子域连接的点称为结点),用全部有限单 元的集合等价于连续域的近似分析方法。计算 中只求结点上的待定函数(即:要求的函数) 值,用结点上的待定函数值反映整个域待定函 数的分布和变化规律。 如:位移、流势、浓度、 温度等等

§4.1 概述 ◼ 有限单元法的实质 有限单元法是求解连续区域内的边值问题和初 值问题的数值方法。其实质是将分析区连续的 域V和边界S离散成为有限个只在结点连接的子 域Ve和面域 S e（每个子域称为一个有限单元， 各个子域连接的点称为结点），用全部有限单 元的集合等价于连续域的近似分析方法。计算 中只求结点上的待定函数（即：要求的函数） 值，用结点上的待定函数值反映整个域待定函 数的分布和变化规律。 如：位移、流势、浓度、 温度等等

有限单元内部的待定函数值则近似地用若 干个形函数叠加而成。形函数表示待定函数在 单元内的分布形态和规律,形函数确定后,就 可以由单元结点处的待定函数值表示单元内部 任意点的待定函数值。因此形函数的选择是有 限元分析的关键。一般形函数为一个由结点上 待定函数值组成的多项式,即: L≈l N 其中:v:待定函数的真值 lE为待定函数的近似值 N:为形函数 a:为结点上待定函数的值

有限单元内部的待定函数值则近似地用若 干个形函数叠加而成。形函数表示待定函数在 单元内的分布形态和规律，形函数确定后，就 可以由单元结点处的待定函数值表示单元内部 任意点的待定函数值。因此形函数的选择是有 限元分析的关键。一般形函数为一个由结点上 待定函数值组成的多项式，即： 1 Ni n i i i i u u N a u u a =  =  其中： ：待定函数的真值 ：为待定函数的近似值 ：为形函数 ：为结点上待定函数的值

分布有函数 N S 有限单元法的分析步骤 ◆连续体的离散 ◆选择形函数 ◆单元特性分析 ◆总体特性分析(单刚一总刚) ◆引入边界条件 ◆求解线性方程组,得到求解函数值

◼ 有限单元法的分析步骤 ◆ 连续体的离散 ◆ 选择形函数 ◆ 单元特性分析 ◆ 总体特性分析（单刚－总刚） ◆ 引入边界条件 ◆ 求解线性方程组，得到求解函数值。 V S Ve 分布有函数 u 1 u n i i i u N a =  = 

这就需要解决以下几个问题: ◆这样作能够逼近真解的道理在那? ◆形函数如何选择?在形函数中选择待 定函数的那个量(位移、应力等)? ◆如何具体分析? ■有限单元法建立的方法 ◆变分法 ◆加权残量法(或称加权残数法)

◼ 这就需要解决以下几个问题： ◆这样作能够逼近真解的道理在那？ ◆形函数如何选择？在形函数中选择待 定函数的那个量（位移、应力等）？ ◆如何具体分析？ ◼ 有限单元法建立的方法 ◆变分法 ◆加权残量法（或称加权残数法）

这两种方法就是分析有限元法能够逼近真解 的数学原理。也就是如何将确定的偏微分方 程和定解条件(初始条件、边界条件)转化 为有限元格式的方法。 其中:变分法有严格的数学证明,而加权残 数法尚未有严格的数学证明,但是对于我们 要解的问题证明是可行的,但是不是对任何 个问题均被证明是有效的。在计算土力学 中,对于有效应力分析方法用加权残数法, 总应力法用变分法(也就是最小势能和最小 余能原理)

这两种方法就是分析有限元法能够逼近真解 的数学原理。也就是如何将确定的偏微分方 程和定解条件（初始条件、边界条件）转化 为有限元格式的方法。 其中：变分法有严格的数学证明，而加权残 数法尚未有严格的数学证明，但是对于我们 要解的问题证明是可行的，但是不是对任何 一个问题均被证明是有效的。在计算土力学 中，对于有效应力分析方法用加权残数法， 总应力法用变分法（也就是最小势能和最小 余能原理）

根据形函数的类型将有限元法分为: ◆线性单元:三节点三角形单元△ ◆高次单元:等参元□ ◆协调元 非协调元(壳单元) ◆梁单元 杆单元 ◆板壳单元 ◆实体单元 ◆锚索单元等等一一如何选择结合分析讲

◼ 根据形函数的类型将有限元法分为： ◆ 线性单元：三节点三角形单元 ◆ 高次单元：等参元 ◆ 协调元 ◆ 非协调元（壳单元） ◆ 粱单元 ◆ 杆单元 ◆ 板壳单元 ◆ 实体单元 ◆ 锚索单元等等－－如何选择结合分析讲