西北农林科技大学：《计算土力学》第四章（4-3） 形函数的选择

计算土力学 主讲教师:张爱军

计算土力学 主讲教师：张爱军

§4.3形函数的选择 ■位移模式是表征单元内部位移的形状的 函数,位移模式一般用多项式表示,因 为多项式可以无限逼近任意连续函数。 其形式为: +ax+ ++a3y+ary+asx+ y=a1+ax+ay或v=a1+a1x+ay+ax+a1x2+a2y2等等 w=a,+agx+aoy +ax+ +a1

§4.3 形函数的选择 ◼ 位移模式是表征单元内部位移的形状的 函数，位移模式一般用多项式表示，因 为多项式可以无限逼近任意连续函数。 其形式为： 2 2 1 2 3 1 2 3 4 5 6 2 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 7 8 9 13 14 15 16 17 18 u a a x a y u a a x a y a xy a x a y v a a x a y v a a x a y a xy a x a y w a a x a y w a a x a y a xy a x a y  = + +  = + + + + +     = + + = + + + + +    = + + = + + + + +  或 等等

形函数是表征单元内部任意一点的位移 与结点位移之间关系的函数。形函数由 位移模式推导产生。其一般形式为: 6}=N6 其中⊙)为单元内部任一点的位移向量 6}:为单元结点上的位移向量 [N]:为形函数,也是插值函数

◼ 形函数是表征单元内部任意一点的位移 与结点位移之间关系的函数。形函数由 位移模式推导产生。其一般形式为：          [ ]: e N N     = e 其中： ：为单元内部任一点的位移向量 ：为单元结点上的位移向量 为形函数，也是插值函数

位移模式的选择 ◆包含常数项,反映刚体位移 ◆包括常应变项。单元应变包括两部分,一部 分与结点的位置有关,称为变量应变;一部 分与结点的位移无关,称为常应变。当单元 尺寸较小时,单元应变趋于均匀,其常应变 量成为应变的主要部分,位移模式中必须包 括这个部分。包括常应变的意思在于位移模 式中必须包括xy,的一次项 ◆位移在单元内部连续,在边界上协调,相邻 单元在边界上不开裂也不重叠 ◆满足几何对称性,即:在各个方向上均形式 样,只是参数不同

位移模式的选择 ◆ 包含常数项，反映刚体位移 ◆ 包括常应变项。单元应变包括两部分，一部 分与结点的位置有关，称为变量应变；一部 分与结点的位移无关，称为常应变。当单元 尺寸较小时，单元应变趋于均匀，其常应变 量成为应变的主要部分，位移模式中必须包 括这个部分。包括常应变的意思在于位移模 式中必须包括x,y,z的一次项 ◆ 位移在单元内部连续，在边界上协调，相邻 单元在边界上不开裂也不重叠 ◆ 满足几何对称性，即：在各个方向上均形式 一样，只是参数不同

■位移模式的选择一般采用帕斯卡三角形 u=a+ax+a Pu=a+a2xta3y+a4xtasxy+a6y u=a+a2x+a3y+agx+assy+ x y xy y tax +aox y+oxy +ay Ju=a,+a2x+a3y+a4x2+as-xy+ay +arx +asx y+ tax v+ y+axv+a

◼ 位移模式的选择一般采用帕斯卡三角形 2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 1 x y x xy y x x y xy y x x y x y xy y 1 u a = 1 2 3 u a a x a y = + + 2 2 1 2 3 4 5 6 u a a x a y a x a xy a y = + + + + + 2 2 1 2 3 4 5 6 3 2 2 3 7 8 9 10 u a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y = + + + + + + + + + 2 2 1 2 3 4 5 6 3 2 2 3 7 8 9 10 4 3 2 2 3 4 11 12 13 14 15 u a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y a x a x y a x y a xy a y = + + + + + + + + + + + + + +

形函数的建立 将各个结点的坐标和各个结点的位移值 (在这里认为是确定值)代入位移模式, 得到一组联立的代数方程组,求解这个 方程,得到由结点坐标和位移值表示的 待定参数值,即 A(,yi,u;) 其中:a:为待定参数 A:表示一种表达式 表示各个结点的坐标和位移 -等参元的形函数有所不同

形函数的建立 ◼ 将各个结点的坐标和各个结点的位移值 （在这里认为是确定值）代入位移模式， 得到一组联立的代数方程组，求解这个 方程，得到由结点坐标和位移值表示的 待定参数值，即： ( , , ) , , : i i i i i i a A x y u x y u = A 其中：a：为待定参数 ：表示一种表达式 表示各个结点的坐标和位移 ◼ 等参元的形函数有所不同

§4.4常应变三角形单元 ■以平面应变问题的三角形单元有限元为 例,阐明有限元解题的过程,从位移模 式的建立,到形函数的形成以及单元刚 N度矩阵、总体刚度矩阵,求解等全过程。 "角形单元是最简单的有限单元,但是 其代表性较强,便于理解

§4.4 常应变三角形单元 ◼ 以平面应变问题的三角形单元有限元为 例，阐明有限元解题的过程，从位移模 式的建立，到形函数的形成以及单元刚 度矩阵、总体刚度矩阵，求解等全过程。 ◼ 三角形单元是最简单的有限单元，但是 其代表性较强，便于理解

■单元位移模式、形函数的建立

◼ 单元位移模式、形函数的建立

设:一个三角形单元,其结点编号为1,2,3 相应结点坐标为{x1y1x2y233而结点 的位移为{u1Y1,2,2,l3y3},这样单元有6 个自由度。 取:单元的位移模式为(常应变): u=a +axa,y v=a,tasxtay 其中:x,y为单元内 (x, y)u 部任一点坐标 u,ⅴ为该点沿x,y 方向的位移

设：一个三角形单元，其结点编号为1,2,3。 相应结点坐标为{x1 ,y1 ,x2 ,y2 ,x3 ,y3 },而结点 的位移为{u1 ,v1 ,u2 ,v2 ,u3 ,v3 },这样单元有6 个自由度。 取：单元的位移模式为（常应变）： 1 2 3 v u (x,y) x y v2 u2 1 2 3 4 5 6 u a a x a y v a a x a y  = + +   = + + 其中：x，y为单元内 部任一点坐标 u，v 为该点沿x，y 方向的位移

◆将三个结点的坐标与位移值代入位移模式中得: 11=a1+a2x1+a3y V1=a4+a5xtaby1 u2=a+a2x2 +a3y V2=a4+a5x2+a6y2 十a2x2+a2 v=a, tax, +a 得到:三个待定系数的值为: 只与结点坐标 有关 2△ (a11+ax22+a343 (Bl1+B2l2+B42)}△ y2 B1 X3 y3 2△ y11+y22+y3

1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 1 1 1 1 1, 2,3 2 2 1 1 2 a u u u x y x y x y a u u u x y y y x y x x a u u u              + +    = −  + +  = = −    = −  + +    ＝ （ ） ＝ （ ） ＝ （ ） ◆ 将三个结点的坐标与位移值代入位移模式中得： 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 3 3 3 u a a x a y u a a x a y u a a x a y  = + +   = + +   = + + ◆ 得到：三个待定系数的值为： 只与结点坐标 有关 1 4 5 1 6 1 2 4 5 2 6 2 3 4 5 3 6 3 v a a x a y v a a x a y v a a x a y  = + +   = + +   = + +