西北农林科技大学：《计算土力学》第三章（3-2） 差分格式续

计算土力学 主讲教师:张爱军

■其他差分公式介绍 ◆以上讲的差分公式为中心差分公式, 其特点是需要采用前一步和后一步值 来进行计算 ◆另外还由向前和向后差分方法,这些 方法的实质是采用本身值和前一步或 后一步值来计算一次微分 ◆以下列出这些差分的公式

方法 差分公式 适用 范围 af fi1i-fi 2h 中心差分 精度较高 02f_J41-2f+1 OX h2 +1,j h 向前差分 精度差一些 82ff+21-2f1,+f ax h h 向后差分 82ff1-2J1+f=2, 精度差 ax h

1, 1, 2 1, , 1, 2 2 2 2 i j i j i j i j i j f f f x h f f f f x h              1, , 2 2, 1, , 2 2 2 i j i j i j i j i j f f f x h f f f f x h             , 1, 2 , 1, 2, 2 2 2 i j i j i j i j i j f f f x h f f f f x h            

方法 差分公式 适用 范围 i+0.5 0.5 半步长中心/ax h 精度较高 差分 02f4(u-21+105,)时间域上差分 用之 ax h

0.5, 0.5, 2 0.5, , 0.5, 2 2 4( 2 ) i j i j i j i j i j f f f x h f f f f x h             

差分公式的截断误差 差分公式实际上是一种近似解法,其 误差分析是非常重要的 ◆截断误差值分析是分析在采用差分公 式代替微分公式时,其误差有多大。 截断误差分析时进行差分方程收敛性 和稳定性分析的基础

◆向前差分公式截断误差 由 Taylor级数展开式得到: h202fh303/f 3 a 将以上公式移项得到: i of haf hof h 3 ax +O( OX 截断误差

2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x                 2 2 3 1, , 2 3 2! 3! ( ) i i i i i j i j x x x x x x x x f f f f h f h x x x h f x h O                     

◆向后差分公式截断误差 由 Taylor级数展开式得到: ∥f1,=f-h df,h2a2f hof Ox 2 ax 3 Ox x-xi 将以上公式移项得到: fifis ar h of ax 2! ax 3! Ox Ix=x, +O() X=X

2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x                 2 2 3 , 1, 2 3 2! 3! ( ) i i i i i j i j x x x x x x x x f f f f h f h x x x f O x h h                     

因此:从上式可以看出,向前与向后差分是 对于某个方向上的截断误差是其步长h的 次函数。我们说向前和向后差分的精度是 阶近似的 ◆中心差分公式截断误差 f=f+h af h28f haf 3!a af h M-Li=fi-h ax Ox X=x X=x fi_li ar 8f hoof 2h 3!a 5!a

2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x                 2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x                 3 4 5 1, 1, 3 2 5 2 3! 5! i i i i j i j x x x x x x f f f f h f h x x h x                

fi-l.i ar O(h ch OX X=x 从上式可以看出,中心差分公式较向前和向后 差分公式的精度提高一个等级 可以推导出二阶微分的精度如下: h202f ha fii-h ax 2!a 3! ax af of fili=fi th i,j OXx= 2! ax 3 ax u-2+u=0+0/+b 4! 6!a

1, 1, 2 ( ) 2 i i j i j x x f f f O h h x         2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x                 2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x                 2 4 4 6 1, , 1, 2 2 4 6 2 2 4! 6! i i i i j i j i j x x x x x x f f f f f h f h x x h x                 

2+fm102f 2+O(2) 同理: i+2,j 2f1+f/02f +O( h ax f1-21+f=203f +O() h x=x 从上式可以看出,对于二阶偏导,向前、 向后和中心差分公式的精度是一致的。 山。从以上公式看出,对于以上差分公式 当h无限减少时,截断误差可以无限减少

2 1, , 1, 2 2 2 2, 1, , 2 2 2 , 1, 2, 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) i i i i j i j i j x x i j i j i j x x i j i j i j x x f f f f O h x f f f f O h x f f f f O h x h h h                            同理：