复旦大学：《数学分析III》试题

《数学分析(I》试题 2004.6 计算下列各题 1.求定积分x(2+n2x) 2.求定积分∫2max1,x); 3.求反常积分 01+x 4.求幂级数∑n+1-√n)2x2的收敛域: 5.设u=x,求du

《数学分析（II）》试题 2004.6 一．计算下列各题： 1．求定积分∫ + e xx dx 1 2 )ln2( ； 2．求定积分∫ ； − 2 2 2 ),1max( dxx 3．求反常积分 dx x x ∫ ∞+ 0 + 2 1 ln ； 4．求幂级数∑( ) ∞ = −+ 1 2 21 n nn xnn 的收敛域； 5．设 ，求 = xu yz du

设变量代换 可把方程6 v=x+ av r2a02=0简化为=0,求 常数a 三.平面点集00U,sinn=12,…}是否为紧集?请说明理由 四.函数项级数∑()x -在[0,1上是否一致收敛?请说明理由

二．设变量代换 可把方程 ⎩ ⎨ ⎧ += −= ayxv yxu ,2 6 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂∂ ∂ + ∂ ∂ y z yx z x z 简化为 0 2 = ∂∂ ∂ vu z ，求 常数 。a 三．平面点集{ } ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ U ,2,1 L 1 sin, 1 0,0 n nn 是否为紧集？请说明理由。 四．函数项级数 n n n n x x n + ⋅ − ∑ ∞ = − 1 )1( 1 1 在 上是否一致收敛？请说明理由。 ]1,0[

五.设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且满足f(1)=1和 求∫f(x) 六,设函数f(x)在[,+∞)上具有连续导数,且满足f(1)=1和 f∫(x)= ,1≤x<+∞ x2+[f(x) 证明:limf(x)存在且小于1+

五．设函数 在 上连续，且满足 xf )( ∞+−∞ ),( f = 1)1( 和 )arctan( 2 1 )2( 2 0 dttxtf x x =− ∫ 。 求 。 ∫ 2 1 )( dxxf 六．设函数 在 上具有连续导数，且满足 xf )( ∞+ ),1[ f = 1)1( 和 2 2 )]([ 1 )( xfx xf + ′ = ，1 ≤ x < +∞。 证明： 存在且小于 xf )(limx +∞→ 4 1 π +

七.设如下定义函数: f(x)= + sin -dt, x>l 判别级数∑1的敛散性 =2f(n) 八.设=smn" r cos xd(n=012…).求级数∑,的和

七．设如下定义函数： dt t t xf x x t 1 sin 2 1)( 2 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ， 。 x > 1 判别级数∑ ∞ =2 )( 1 n nf 的敛散性。 八．设 ∫ = 4 0 cossin π I xdxx n n （n = ,2,1,0 L）。求级数 的和。 ∑ ∞ n=0 n I