复旦大学：《数学分析》数学分析III试题

《数学分析(I)》试题 2005.1 在球面x2+y2+z2=1上找点P(xa,y,-),满足x0>0,y>0,=0>0, 使得该球面在点P处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。 二.求球面x2+y2+x2=a2(a>0)被平面z=2与z=所夹部分的面积。 4

《数学分析（III）》试题 2005.1 一．在球面 上找点 ，满足 ， ， ， 使得该球面在点 处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。 1 222 zyx =++ ),,( 0000 zyxP x0 > 0 y0 > 0 z0 > 0 P0 二．求球面 =++ azyx 2222 （ ）被平面 a > 0 4 a z = 与 2 a z = 所夹部分的面积

三.计算二重积分 ddy,其中D是由x轴,直线y=x以及曲线 +√y=1,√x+√=2所围成的平面闭区域。 四.计算三重积分dh,其中9=1(xy,)x2+y2+=251}

三．计算二重积分 ( ) ∫∫ + D dxdy x yx 2 4 ，其中 是由 D x 轴，直线 y = x 以及曲线 yx =+ 1， yx =+ 2所围成的平面闭区域。 四．计算三重积分∫∫∫ ，其中 。 Ω dxdydze z|| |),,({ }1 222 =Ω zyxzyx ≤++

五.计算曲线积分 其中L是球面x2+y2+z2=a2(a>0)与平面x=y相交而成的圆周。 六.计算曲面积分x2db+y2dx+2dd,其中∑为锥面x2+y2=z2在平面 z=0与z=h(h>0)之间的部分,定向为下侧

五． 计算曲线积分 ∫ + L dszy 22 2 ， 其中 L 是球面 =++ azyx 2222 （ ）与平面 a > 0 x = y 相交而成的圆周。 六．计算曲面积分 ∫∫ ，其中 Σ ++ dxdyzdzdxydydzx 2 2 2 Σ 为锥面 在平面 与 （ ）之间的部分，定向为下侧。 222 =+ zyx z = 0 = hz h > 0

七.设Ax,y)=2x(x4+y2)2i-x2(x4+y2)j是右半平面D={(x,y)x>0}上 的向量场,试确定常数λ,使得A(x,y)为D上函数u(x,y)的梯度场,并求出 u(x,y) 八将(x)=1smx1(-x≤x≤x)展开为 Fourier级数,并分别求级数∑,1 n2-1 的和

七．设 24 λ i +−+= yxxyxxyyxA 242 )()(2),( λ j 是右半平面 = xyxD > }0|),({ 上 的向量场，试确定常数 λ ，使得 为 上函数 的梯度场，并求出 。 yxA ),( D yxu ),( yxu ),( 八．将 = sin|)( xxf （| π x ≤≤− π ）展开为 Fourier 级数，并分别求级数∑ ∞ =1 −2 14 1 n n ， ( ) ∑ ∞ =1 − 2 2 14 1 n n 的和

九,设f(x)=∫ coS xI dt,x∈(-∞,+∞)。 (1)证明积分∫”0,江关于x在(=,+m)上一致收敛 (2)证明limf(x)=0; (3)证明f(x)在(-∞,+∞)上一致连续

九．设 ∫ ∞+ + = 1 2 )1( cos )( dt tt xt xf ， x ∈ −∞ + ∞),( 。 （1）证明积分∫ ∞+ 1 + 2 )1( cos dt tt xt 关于 x在 −∞ + ∞),( 上一致收敛； （2）证明 = 0)(lim ； +∞→ xf x （3）证明 在 上一致连续。 xf )( ∞+−∞ ),(