复旦大学：《数学分析II》2004~2005学年第二学期期末考试试卷

复旦大学2004~2005学年第二学期期末考试试卷 课程名称:数学分析I 课程代码:218.121.2.01 开课院系:_数学科学学院 学生姓名: 学号: 专业: 题目1 3 6 8总分 得分 填充题 1.(每空格5分,共30分) (1)f(x)=sin√t,则当x→0+时,f(x)是关于x的 阶 无穷小量。 (2) dx (3)幂级数∑(2(x-1y的和函数与收敛范围为 (4)ln(1+x-2x2)的幂级数展开中x的系数为 (5)反常积分+x)smx女收敛,则a的取值范围为 (6)函数项序列s(x)=nxe在区间@]上一致收敛,则a的取 值范围为

复旦大学 2004～2005 学年第二学期期末考试试卷 课程名称： 数学分析II 课程代码： 218.121.2.01 开课院系： 数学科学学院 学生姓名： 学号： 专业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 填充题 1．（每空格 5 分，共 30 分） （1） ∫ = 2 0 sin)( x xf dtt ，则当 x → +0 时， xf )( 是关于 x 的 阶 无穷小量。 （2） 2 1 ln x dx x +∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ∫ 。 （3）幂级数 1 ( 2) ( 1) n n n x n ∞ = − ∑ − 的和函数与收敛范围为 。 （4） )21ln( 的幂级数展开中 的系数为 2 −+ xx n x 。 （5）反常积分 dx x xx ∫ ∞+ + ⋅ 0 sin)1ln( α 收敛，则α 的取值范围为 。 （6）函数项序列 2 ( ) nx n S x nxeα − = 在区间[ 1,0 ]上一致收敛，则α 的取 值范围为 。 1

解答题(每题10分) 2.计算积分+x=a。 3.xn>0,∑x收敛,问是否有lmxn=0?是的话证明之,不一定的 话举出反例。 4.求曲线y=√xe'(x≥0绕x轴旋转所得旋转体的体积

解答题（每题 10 分） 2．计算积分 2 0 1 n n x dx x +∞ + + ∫ 。 3. xn > 0，∑ 收敛，问是否有 ∞ n=1 n x = 0lim∞→ n n nx ？是的话证明之，不一定的 话举出反例。 4．求曲线 2 x y xe− = ( 0 x ≥ )绕x轴旋转所得旋转体的体积。 2

5.求()=acm-2在x=0的幂级数展开,并求∑的值。 6.设底面直径为2米,高为5米的圆柱体形状的浮桶横躺在100米 深的海底,打捞作业时需要将桶内的水“抽”到海面上,问将桶内的 水全部抽干要做多少功?(答案可保留水的比重p与重力加速度g)

5. 求 x x xf 21 21 arctan)( + − = 在 x = 0的幂级数展开，并求∑ ∞ = + − 0 4)12( )1( n n n n 的值。 6．设底面直径为 2 米，高为 5 米的圆柱体形状的浮桶横躺在 100 米 深的海底，打捞作业时需要将桶内的水“抽”到海面上，问将桶内的 水全部抽干要做多少功？（答案可保留水的比重 ρ 与重力加速度 g ）。 3

7.判断∑x2(1-x)”与∑mx2(1-x)y在p上的一致收敛性,并证明你 的断言。 8.设函数f(x)在[a+0)上一致连续,「f(x)收敛,证明limf(x)=0

7．判断∑ 与 在 ∞ = − 1 2 )1( n n xx ∑ ∞ = − 1 2 )1( n n xnx [ 1,0 ]上的一致收敛性，并证明你 的断言。 8．设函数 xf )( 在[ , a +∞)上一致连续， ( ) a f x dx +∞ ∫ 收敛，证明 。 lim ( ) 0 x f x →+∞ = 4