复旦大学：《数学分析III》试题解答

《数学分析(I)》试题答案 2005.1 (本题满分10分)x0=y0=20 二.(本题满分10分)a 三.(本题满分10分)。 四.(本题满分10分) 作球面坐标变换x= rsin cos 6,y= rsin sin 6,z= rcos得 JS]:=5/ dr de econs sin odo 由于 roelcosl sin gado= r2 erose sin g+ re"rose sin gdo=2e-1),所以 JJJeldxdyd==4r r(e-Ddr=27 五.(本题满分10分)2m 六.(本题满分10分)-h4。 七(本题满分10分)=-1;(x,y)=- arctan)+C。 八.(本题满分15分)()=2-42m,-≤x≤ 4n2-)216 九.(本题满分15分)(1)因为 cos xt x∈(-∞,+∞),t∈[,+∞) 而 203xd关于x在(-∞,+∞)上一致收敛。 (1+t2) dh收敛,所以∫ (1+t2) (2)对于任意给定的E>0。因为 oo coS xt d一致收敛,所以存在A>1,使 r(1+t2) 得[0xd<5(xe(-x,+∞)由 Riemann0引理知lim[xa=0, r(1+t2) +1 t(1+t

《数学分析（III）》试题答案 2005.1 一．（本题满分 10 分） 3 3 zyx 000 === 。 二．（本题满分 10 分） 2 2 a π 。 三．（本题满分 10 分） 2 15 。 四．（本题满分 10 分） 作球面坐标变换 = rx ϕ θ = ry ϕ θ = rz cos,sinsin,cossin ϕ 得 ∫∫∫∫∫∫ = Ω π ϕ π θ ϕϕ 0 |cos| 2 0 1 0 || 2 dxdydze sin deddrr z r 。 由于 sin sin )1(2sin 2 cos 2 0 cos 0 |cos| = + −= ∫ ∫ ∫ r r −r r erderder ed π π ϕ π ϕ π ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ，所以 π 2)1(4 π 1 0 || = =− ∫∫∫ ∫ Ω dxdydze drer z r 。 五．（本题满分 10 分） 2 2πa 六． （本题满分 10 分） 4 2 h π − 。 七．（本题满分 10 分）λ −= 1； C x y yxu −= + 2 arctan),( 。 八．（本题满分 15 分） ∑ ∞ = − −= 1 2 14 2cos42 )( n n nx xf ππ ，− π ≤ x ≤ π ； 2 1 14 1 1 2 = − ∑ ∞ n= n ； ( ) 2 1 14 16 1 2 1 2 2 −= − ∑ ∞ = π n n 。 九．（本题满分 15 分）（1）因为 )1( 1 )1( cos 2 2 tttt xt + ≤ + ，x ∈ −∞ + ∞),( ， ， 而 t ∞+∈ ),1[ ∫ ∞+ 1 + 2 )1( 1 dt tt 收敛，所以 ∫ ∞+ 1 + 2 )1( cos dt tt xt 关于 x在 −∞ + ∞),( 上一致收敛。 （2）对于任意给定的ε > 0 。因为 ∫ ∞+ 1 + 2 )1( cos dt tt xt 一致收敛，所以存在 A > 1，使 得 )1( 2 cos 2 ε < + ∫ ∞+ A dt tt xt （ x −∞∈ + ∞),( ）。由 Riemann 引理知 0 )1( cos lim 1 2 = + ∫ +∞→ A x dt tt xt

所以存在x>0,当x>x时成立0xdx时成立 1(1+t2)2 +∞coSx d 即m+=0 (3)因为对于任意x1,x2∈(-∞,+∞),成立 (x1)-f(x2) *a(cosx (-cosx2odrl r(1+t) 2sin -12tsin -=2Lt (1+t2) 2 t sin 2 dr dt t(1+12) r(1+t) dt=x1-x2 1+t 这可直接推出f(x)在(-∞,+∞)上一致连续

所以存在 ，当 时成立 X > 0 > Xx )1( 2 cos 1 2 ε Xx ε εε =+< + + + ≤ + ∫∫∫ ∞+ ∞+ )1( 22 cos )1( cos )1( cos 2 1 2 1 2 A A dt tt xt dt tt xt dt tt xt 。 即 0 )1( cos lim 1 2 = + ∫ ∞+ +∞→ dt tt xt x 。 （3）因为对于任意 ),(, xx 21 −∞∈ + ∞ ，成立 ,|| 1 4 1 || )1( 2 2 )1( 2 sin 2 sin2 )1( 2 sin 2 sin2 )1( (cos )cos )()( 21 1 21 2 1 2 21 1 2 21 12 1 2 21 12 1 2 1 2 1 2 xxdt t xx dt tt t xx dt tt t xx t xx dt tt t xx t xx dt tt txtx xfxf −= + −= + − ≤ + + − ≤ + + − = + − =− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ π 这可直接推出 在 上一致连续。 xf )( ∞+−∞ ),(