复旦大学：《数学分析》第十章 函数项级数

第十章函数项级数 §1函数项级数的一致收敛性 点态收敛 设n(x)(n=1,2,3,…)是具有公共定义域E的一列函数,这无 穷个函数的“和” l1(x)+l2(x)+…+ln(x) 称为函数项级数,记为∑un(x)

点态收敛 设 un (x)（n = 1,2,3,…）是具有公共定义域 E 的一列函数，这无 穷个函数的“和” 1 + 2 +"+ n xuxuxu )()()( +" 称为函数项级数，记为∑ ∞ =1 )( n n xu 。 第十章 函数项级数 §1 函数项级数的一致收敛性

定义10.1.1设ln(x)(n=1,2,3,…)在E上定义。对于任意固 定的x0∈E,若数项级数∑vn(x)收敛,则称函数项级数∑n(x)在点x 收敛,或称x是∑u1(x)的收敛点。 函数项级数∑n()的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数 ∑n(x)的收敛域。 n=1

定义 10.1.1 设 un (x) （n = 1,2,3,…）在 E 上定义。对于任意固 定的 0 x ∈E，若数项级数∑ ∞ =1 0 )( n n xu 收敛，则称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 在点 0 x 收敛，或称 0 x 是∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点。 函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域

设∑un(x)的收敛域为D<E,则∑un(x)就定义了集合D上的一个 函数 S(x)=∑un(x),x∈D。 S(x)称为∑n(x)的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的, 因此称∑n1(x)在D上点态收敛于S(x)

设∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域为 D⊂ E，则∑ ∞ =1 )( n n xu 就定义了集合 D 上的一个 函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu ， x∈D 。 S(x)称为∑ ∞ =1 )( n n xu 的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的， 因此称∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上点态收敛于 S(x)

例10.1.1利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法, D'Alembert判别法等)和定义10.1.1,可知下述结论 ∑x"的收敛域是(-1),和函数为S(x)21-r

例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ，和函数为 S(x) = x x 1− ；

例10.1.1利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法, D'Alembert判别法等)和定义10.1.1,可知下述结论 ∑x"的收敛域是(-1),和函数为S(x)21-r ∑。的收敛域为1) ∑—的收敛域1] n=I n

∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域为 − )1,1[ ； ∑ ∞ =1 2 n n n x 的收敛域 − ]1,1[ ； 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ，和函数为 S(x) = x x 1− ；

例10.1.1利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法, D'Alembert判别法等)和定义10.1.1,可知下述结论 ∑x"的收敛域是(-1),和函数为S(x)21-r ∑的收敛域为[-1) ∑—的收敛域1] n=I n ∑的收敛域为R=(-m+); ∑(m)x"的收敛域为单点集{0}; n=1 ∑e的收敛域为(0-+∞),和函数为Sx)

∑ ∞ =1 ! n n n x 的收敛域为R = −∞ +∞),( ； ∑ ∞ =1 )!( n n xn 的收敛域为单点集{0}； ∑ ∞ = − 1 e n nx 的收敛域为 +∞),0( ，和函数为 S(x) = 1e 1−x 。 ∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域为 − )1,1[ ； ∑ ∞ =1 2 n n n x 的收敛域 − ]1,1[ ； 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ，和函数为 S(x) = x x 1− ；

给定一个函数项级数∑un(x),可以作出它的部分和函数 n=1 l(x),x∈E; 显然,使{S(x)}收敛的x全体正是级数的收敛域D。因此在D上 ∑n(x)的和函数S(x)就是其部分和函数序列{Sx)}的极限,即有 S(x)= lim Sn()im∑ l4(x),x∈D。 n→0

给定一个函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu ，可以作出它的部分和函数 Sn(x) = ∑ = n k k xu 1 )( ， x∈E； 显然，使{Sn(x)}收敛的 x 全体正是级数的收敛域 D 。因此在 D 上， ∑ ∞ =1 )( n n xu 的和函数 S(x)就是其部分和函数序列{Sn(x)}的极限，即有 S(x) = n ∞→ lim Sn(x)= n ∞→ lim ∑ = n k k xu 1 )( ， x∈D

反过来,若给定一个函数序列{S(x)}(x∈E),只要令 1(x)=S(x), un+1(x)=Sn+I(x)-sn(x) (n 就可得到相应的函数项级数∑n(x),它的部分和函数序列就是 in(x)

反过来，若给定一个函数序列 { Sn (x)} ( x ∈E )，只要令 u1(x) = S1(x )， un + 1 (x) = Sn+ 1 (x ) - Sn (x) ( n = 1,2, … )， 就可得到相应的函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu ，它的部分和函数序列就是 { Sn (x)}

反过来,若给定一个函数序列{S(x)}(x∈E),只要令 1(x)=S(x), ln+1(x)=Sn+1(x)-S(x)(n=1,2,…) 就可得到相应的函数项级数∑n(x),它的部分和函数序列就是 S(x)} 所以,函数项级数∑u(x)与函数序列{S(x)的收敛性在本质上完 全是一回事。为方便起见,下面将经常通过讨论函数序列来研究函数 项级数的性质

所以，函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 与函数序列{Sn(x)}的收敛性在本质上完 全是一回事。为方便起见，下面将经常通过讨论函数序列来研究函数 项级数的性质。 反过来，若给定一个函数序列 {Sn(x)} ( x∈E )，只要令 u1(x) = S1(x)， un + 1(x) = Sn+ 1(x) - Sn(x) (n = 1,2,…)， 就可得到相应的函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu ，它的部分和函数序列就是 {Sn(x)}

函数项级数或函数序列的基本问题 设有限个函数u1(x),2(x),…,ln1(x)在D上定义且具有某种分 析性质,如连续性、可导性和 Riemann可积性(以下就称可积性)等, 则它们的和函数 l1(x)+2(x)+…+lmn(x) 在D上仍保持同样的分析性质

函数项级数(或函数序列)的基本问题 设有限个函数 u1 (x )，u 2 (x )，…， un (x ) 在 D 上定义且具有某种分 析性质，如连续性、可导性和 Riemann 可积性（以下就称可积性）等， 则它们的和函数 u1 (x ) + u 2 (x )+…+ un (x) 在 D 上仍保持同样的分析性质