石家庄铁道学院：《数字图象处理》第三章（3-4） 二维离散傅里叶变换

石家庄铁道学胱 教案纸 34二维离散傅里叶变换 二维DFT M×N图像 ∫(x,y)(x=01,…,M-1;y=0,1,…,N-1) F(u,) f(x, y)e 正变换核 f(x,y)MN 22 F(u,v)e 反变换核 x=0,1,…,M-1 v=0.1……,N-1 f∫(x,y)分F(u,v) F(u,vFR(u, v)+jl(u, v) )=F(,v) 幅度谱 F(l,)=[R2(u,y)+2(u,)y2 相位谱 Q(u, v)=tan"[ 功率谱 P(u,v)F(u, v)=R(u, v)+1(u 二维DFT性质 1、分离性 F(ay)=∑∑f(x,y)k IN 0,1,…,N-1 0,…,N-1 2、线性 如果:f1(x,y)分F(u,),f2(x,y)分→F2( 则f(x,y)+b2(x,y)分aF1(u2v)+bF2(l2v) 第1页

石 家 庄 铁 道 学 院 四 方 学 院 教 案 纸 第 1 页 3.4 二维离散傅里叶变换 一、二维 DFT 二、二维 DFT 性质 1、分离性 2、线性 F(u, v)= R(u, v)+ jI(u, v) ( , ) ( , ) | ( , )| j u v F u v F u v e  = 2 2 1/ 2 | F(u,v)|=[R (u,v) + I (u,v)] ] ( , ) ( , ) ( , ) tan [ 1 R u v I u v u v −  = | ( , )| | ( , )| ( , ) ( , ) 2 2 2 P u v = F u v = R u v + I u v 幅度谱 相位谱 功率谱 j vy N j ux N N x N y F u v f x y e e 2 / 2 / 1 0 1 0 ( , ) [ ( , ) ] −  −  − = − = =  u,v = 0,1,  ,N −1 j vy N j ux N N u N v F u v e e N f x y 2 / 2 / 1 0 1 0 2 [ ( , ) ] 1 ( , )     − = − = = x, y = 0,1,  , N −1 MN图像 f (x, y)(x = 0,1,  ,M −1; y = 0,1,  , N −1) 2 ( ) 1 0 1 0 ( , ) ( , ) N vy M ux M j x N y F u v f x y e − + − = − = =   0,1, , 1 0,1, , 1 = − = − v N u M   2 ( ) 1 0 1 0 ( , ) 1 ( , ) N vy M ux M j u N v F u v e MN f x y + − = − = =   0,1, , 1 0,1, , 1 = − = − y N x M   f (x, y)  F(u,v) 正变换核 反变换核 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) 1 1 2 2 如果： f x y  F u v f x y  F u v ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 则 af x y +bf x y aF u v +bF u v

石家庄铁道学院四方学院 教案纸 周期性与共轭对称性 如果f(x,y)eF(l,y) 则F(u,)=F(+mN,v+nN F 位移性 如果f(x,y)分F(u,v) 则f(x-x0,y-y)分F(ul2xoy f(x,y)l+N台→F(l-ln,v-10) 5、尺度变换 如果 f(x,y)分F(l,v) 则(ax FO 6、旋转性 如果 ∫(r,)分F(w,p) f(,+B0)分F(w,φ+6) 7、平均值 f(x,y)=∑∑f(x,y) r=0y=0 F(0,0) f(x,y)=F(0,0) 卷积 如果f(x,y)分F(u,),g(x,y)分G(,v) 则f(x,y)*g(x,y)分F(2)G(2 f(x, y)g(x,y)o F(u, v)*G(u,v) 三、二维FFT 基于二维离散傅里叶变换的分离性,二维离散FFT算法可以用两个一维FFT算法来实现 第2页

石 家 庄 铁 道 学 院 四 方 学 院 教 案 纸 第 2 页 3、周期性与共轭对称性 4、位移性 5、尺度变换 6、旋转性 7、平均值 8、卷积 三、二维 FFT 基于二维离散傅里叶变换的分离性，二维离散 FFT 算法可以用两个一维 FFT 算法来实现 如果 f (x, y)  F(u,v) F(u,v) = F(u + mN,v + nN) ( , ) ( , ) * * f x y  F −u −v 则 如果 则 f (x, y)  F(u,v) j ux vy N f x x y y F u v e 2 ( )/ 0 0 0 0 ( , ) ( , )  − + − −  ( , ) ( , ) 0 0 2 ( )/ 0 0 f x y e F u u v v j u x v y N  − −  + 如果 则 f (x, y)  F(u,v) ( , ) | | 1 ( , ) b v a u F ab f ax by  如果 则 f (r, )  F(w,) ( , ) ( , )  +0  F w  +0 f r  − = − = = 1 0 1 0 2 ( , ) 1 ( , ) N u N v f x y N f x y  − = − = = 1 0 1 0 2 ( , ) 1 (0,0) N u N v f x y N F f (x, y) = F(0,0) u=v=0 如果 则 f (x, y)  F(u,v), g(x, y)  G(u,v) f (x, y) g(x, y)  F(u,v)G(u,v) f (x, y) g(x, y)  F(u,v)G(u,v)

石家庄铁道学院四方学院 教案纸 F(xy)=∑∫(xmv=01…,N-1 F(,)=∑F(x,)e2mNu=0,1,…,N-1 (N1) 列FFT (-1 (N-1) F(x,v) F(21) 四、 Matlab实现 快速傅里叶变换函数 ◎ff函数 维DFT ◎f2函数 二维DFT ◎fftm函数 N维DFT ◎i函数 维IDFT i函数 二维IDFT oitn函数 N维IDFT 口耩韉 傅叶变换 对 傅風叶变换 叶变换谱 第3页

石 家 庄 铁 道 学 院 四 方 学 院 教 案 纸 第 3 页 四、Matlab 实现 快速傅里叶变换函数  fft函数 一维DFT  fft2函数 二维DFT  fftn函数 N维DFT  ifft函数 一维IDFT  ifft2函数 二维IDFT  ifftn 函数 N 维 IDFT 例 简单图像 傅里叶变换谱 对数 傅里叶变换谱 傅里叶变换 中心谱 v = 0,1,  , N −1  − = − = 1 0 2 / ( , ) ( , ) N x j ux N F u v F x v e  u = 0,1,  ,N −1 j vy N N y F x v f x y e 2 / 1 0 ( , ) ( , ) −  − = =

石家庄铁道学院四方学院 教案纸 叶变换 录回良 第4页

石 家 庄 铁 道 学 院 四 方 学 院 教 案 纸 第 4 页 例 风景图像 傅里叶变换 中心谱