中国科学技术大学：《线性代数》课程教学资源（讲义）第二章 行列式（2-2）行列式2/2

伴随矩阵A= y/n×n A1为a的代 数余子式 米 12 22 n2 伴随矩阵 2n 写A时要注意什么?代数佘子式的顺序 例:求二阶A矩阵的伴随矩阵 b b你记住 水 d 了吗? c a

伴随矩阵 ( ) nn ij aA × = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∗ nn nn n n AAA AAA AAA A L MLMM L L 21 2212 2 2111 1 数余子式 为aA ijij 的代 伴随矩阵 写 A ∗时要注意什么？ 代数余子式的顺序! 例 :求二阶A矩阵的伴随矩阵 . ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = dc ba A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∗ ac bd A

AA= 12 aInA A2 21a22 2n 24122 n2 2 2n 个很重 =AE=A" 要的式子 AA=AA=AE

= ∗ AA ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ nn nn n n nn nn n n AAA AAA AAA aaa aaa aaa L MLMM L L L MLMM L L 21 2212 2 2111 1 21 2221 2 1211 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A A O = EA A A ∗ = == EAAAAA ∗∗ 一个很重 要的式子

例范德蒙行列式 D 2 1一 n-1 1(a1-a1)关于范德蒙行列 1≤j<i<n 式注意以下三点

)aa( aaaa aaaa aaaa D . j nij i n n nnn n n n −= = ∏ ≤<≤ −−− − 1 1 1 3 1 2 1 1 2 2 3 2 2 2 1 321 1111 L MLMMM L L L 例范德蒙行列式 关于范德蒙行列 式注意以下三点

1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列 2结果:可为正可为负可为零 3共n(-1)/2项的乘积 对于范德蒙行列式我们的任务就是 利用它计算行列式.因此要牢记范德 蒙行列式的形式和结果 你能识别出范德蒙行列式吗? 你会用范德蒙行列式的结果做题吗?

• 1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列. • 2.结果:可为正可为负可为零. • 3.共n(n-1)/2项的乘积. 对于范德蒙行列式,我们的任务就是 利用它计算行列式,因此要牢记范德 蒙行列式的形式和结果. 你能识别出范德蒙行列式吗？ 你会用范德蒙行列式的结果做题吗？

如 248 2134 D 41916 D 12 3927 812764 41664 =(1-2)3-2)4-2)(3-1)4-1)(4-3)=-12 (a-1)3(a-2)3(a-3)(a-4 3 D (a-12(a-2)2(a-32(a-4) 2 a

如： 642718 16914 4312 1111 D = = − − − − − − )34)(14)(13)(24)(23)(21( = −12 1111 4321 )4()3()2()1( )4()3()2()1( 2 2 2 2 3 3 3 3 −−−− −−−− −−−− = aaaa aaaa aaaa D ? 641641 27931 1111 8421 D = = −12

1)2 22 aa aa( aa( aa( ad(三 aa( 333 aaa蒙 aa 1) 德 行 列 式

3 3 3 3 2 2 2 2 )4()3()2()1( )4()3()2()1( 4321 1111 −−−− −−−− −−−− = aaaa aaaa aaaa D 3 3 3 3 2 2 2 2 )1()2()3()4( )1()2()3()4( 1234 1111 −−−− −−−− −−−− = aaaa aaaa aaaa = !1!2!3 = 12

克莱姆法贝 考虑方程组 a.x.+a.x+∴+aL,x=b C21x1+a2x2+…+a2nx nn ●●●●●●●●●●● +ax+…+ax=b 12 nn n 与二,三元方程组类似,n元方 程组也可用行列式表示

克莱姆法则 考虑方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ n n nnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L LLLL L L 11 22 222121 2 2 212111 1 1 与二 ,三元方程组类似,n元方 程组也可用行列式表示

定理1若方程组的系数行列式 12 In D= 21 |≠0 C n 2 则方程组有惟一解 D D

定理1 若方程组的系数行列式 0 1 2 21 22 2 11 12 1 = ≠ n n nn n n aaa aaa aaa D L MLMM L L 则方程组有惟一解 D D x D D x D D x n == ,,, n = 2 2 1 1 L

其中 b (j-1) D b 要证明这一定理,需证明两点.一是有解, 二是解惟一,为 xX D

其中 n jn jnn nn j j n j aabaa aabaa D L L MLMMMLM L L 1 )1( )1( 11 )1(11)1(1 1 − + − + = 要证明这一定理,需证明两点.一是有解, 二是解惟一,为 D D x j j = = L nj ),,2,1(

D 欲证 X 是解,只需证明等式 DD D +a +∴+a D D 等n个式子成立整理上式,得 bD-ad-a d a.D=0 为此构造n+1阶行列式

欲证 D D x j j = 是解,只需证明等式 1 1 2 12 1 11 b DD a DD a DD a n L n =+++ 等n个式子成立.整理上式,得: 1 − − 212111 −L− 1 DaDaDaDb nn = 0 为此构造n+1阶行列式 = L nj ),,2,1(