中国科学技术大学：《线性代数》课程教学资源（讲义）第十六讲 投入产出问题

投入产出问题

投入产出问题

1.背景介绍 个国家或区域的经济系统中,各部门(或企业)既有消耗 又有生产,或者说既有投入”又有“产出”.生产的产品供给各 部门和系统外的需求,同时也消耗系统各部门所提供的产品, 消耗的目的是为了生产;生产的结果必然要创造新价值.显 然对每一部门,物资消耗和新创造的价值等于它生产的总产 值.这就是没投入”和“产出”之间的平衡关系 俄裔美国经济学家W. Leontief于20世纪30年代首先提出 并成功地建立了研究国民经济的投入产出的数学模型,他数 次主持制定了美国的国民经济投入产出表,且由此对国民经 济各部门的结构和各种比例关系进行了定量分析.这一方法 即投入产出法以其重要的应用价值迅速为世界各国经济学界 和决策部门所采纳.W. Leontief因此于1973年获得了 Nobel经 济学奖

1. 背景介绍 一个国家或区域的经济系统中,各部门(或企业)既有消耗 又有生产,或者说既有“投入” 又有“产出”.生产的产品供给各 部门和系统外的需求,同时也消耗系统各部门所提供的产品, 消耗的目的是为了生产；生产的结果必然要创造新价值. 显 然对每一部门,物资消耗和新创造的价值等于它生产的总产 值. 这就是“投入”和“产出”之间的平衡关系. 俄裔美国经济学家W.Leontief于20世纪30年代首先提出 并成功地建立了研究国民经济的投入产出的数学模型，他数 次主持制定了美国的国民经济投入产出表，且由此对国民经 济各部门的结构和各种比例关系进行了定量分析. 这一方法 即投入产出法以其重要的应用价值迅速为世界各国经济学界 和决策部门所采纳. W.Leontief因此于1973年获得了Nobel经 济学奖

2.实际问题 个城镇有三个主要生产企业:煤矿、电厂和 地方铁路作为它的经济系统.生产价值1元的煤,需 消耗0.25元的电费和0.35元的运输费;生产价值1 元的电,需消耗0.40元的煤费、0.05元的电费和 0.10元的运输费;而提供价值1元的铁路运输服 务,则需消耗0.45元的煤、0.10元的电费和0.10元 的运输费.在某个星期内,除了这三个企业间的彼 此需求,煤矿得到50000元的订单,电厂得到25000 元的电量供应要求,而地方铁路得到价值30000元 的运输需求.试问这三个企业在这星期各应生产 多少产值才能满足内外需求?

2. 实际问题 一个城镇有三个主要生产企业：煤矿、电厂和 地方铁路作为它的经济系统.生产价值1元的煤，需 消耗0.25元的电费和0.35元的运输费；生产价值1 元的电，需消耗0.40元的煤费、0.05元的电费和 0.10元的运输费；而提供价值1元的铁路运输服 务，则需消耗0.45元的煤、0.10元的电费和0.10元 的运输费. 在某个星期内，除了这三个企业间的彼 此需求，煤矿得到50000元的订单，电厂得到25000 元的电量供应要求，而地方铁路得到价值30000元 的运输需求. 试问 这三个企业在这星期各应生产 多少产值才能满足内外需求？

3.数学模型 设煤矿、电厂和地方铁路在这星期生产 总产值分别为x1x2和x3(元),那么 0x1+0.40x2+0.45x3+50000=x 0.25x,+0.05x,+0.10x,+25000=x 0.35x1+0.10x2+0.10x2+30000=x AX+y=X(分配平衡方程组) 00400.45 50000 0.250050.10X=x,Y=|2500 0.350.100.10 30000 直接消耗矩阵)

3. 数学模型 设煤矿、电厂和地方铁路在这星期生产 总产值分别为 x1 x 2 和 x 3(元)，那么 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 3 1 0003010.010.035.0 0002510.005.025.0 0005045.040.00 xxx x xxx x xxx x X ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 10.010.035.0 10.005.025.0 45.040.00 A ＝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 x x x X ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 00030 00025 00050 Y (分配平衡方程组 ) (直接消耗矩阵 ) AX Y＝＋

求各生产总值 我们把分配平衡方程写成 (E-AX=Y 040-0.45 其中E-A=-025095-0.10 0.35-0.100.90 解上述方程可知,在该星期中,煤矿、电厂和地 方铁路的总产值分别为11458元,65395.4元和 85111元

鱹 鱹 鱹 鴠 鰙 鐌 鐌 鐌 鑮 鎪 − − − −− =− 90.010035.0 10.095.0250 45.040.01 AE 求各生产总值 我们把分配平衡方程写成 − )( = YXAE 解上述方程可知，在该星期中,煤矿、电厂和地 方铁路的总产值分别为114458元, 65395.4元和 85111元. cv ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −−− −−− =− 90.010.035.0 10.095.025.0 45.040.01 其中 AE

4.新创价值问题 除了外部需求,试求这星期各企业之间的消耗 需求,同时求出各企业新创造的价值(即产值中除 去各企业的消耗所剩的部分) 分析 将x1=114458分别乘以 0,0.25,0.35得到各企业为 025 煤矿 035 的总产值所作消耗,写为

4. 新创价值问题 除了外部需求，试求这星期各企业之间的消耗 需求，同时求出各企业新创造的价值(即产值中除 去各企业的消耗所剩的部分) 分析 将x1=114458分别乘以 0，0.25，0.35得到各企业为 煤矿 的总产值所作消耗，写为 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ 35.025.00 1x

类似地各企业 0.4 0.45 对电厂、铁路的产 值所作消耗分别为 0.05 0.1 0.1 0.1 把上面三个向量写成矩阵即得下面的关系式 1144580 0 T=A0653950 0 085111

把上面三个向量写成矩阵即得下面的关系式 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1118500 0395650 00458114 AT 类似地各企业 对电厂、铁路的产 值所作消耗分别为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1.0 05.0 4.0 2 x ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1.0 1.0 45.0 3 x

设x1,=2和z3(元)分别为煤矿、电厂和地方铁 路在这星期的新创价值,那么应有 0x1+0.25x1+0.35x1+21=x 0.40x2+0.05x2+0.10x2+2=x2 0.45x2+0.10x2+0.10x2+ 容易得到 =45783.2 29427.9 29766.8

设 z1 , z2和z3(元)分别为煤矿、电厂和地方铁 路在这星期的新创价值，那么应有 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+++ =+++ =+++ 3 3 333 2 2 222 1 1 111 10.010.045.0 10.005.040.0 35.025.00 xzxxx xzxxx xzxxx 容易得到 z1 = 45783.2 z2= 29427.9 z3= 29766.8

投入产出表 中间产品 最终产品总产值 投入 煤矿电厂铁路小计 煤矿 026158383006445850000114458 电厂2861432708511403952500065395 铁路|400654085115511000 85111 小计68674359685532215996410500264964 新创价值457842942729789105000 总产值114586539585111264964 般说,在对一个国家或区域的经济用投入产出法进行分 析和研究时,首先根据统计数字制定投入产出表,进而计算出 有关的技术系数对这些系数的分析,可以了解经济系统的结 构和各部门之间的数量关系,还可通过求解方程组来获知最终 需求的变动对各部门生产的影响

产出 中间产品 最终产品 总产值 投入 煤矿 电厂 铁路 小计 煤矿 0 26158 38300 64458 50000 114458 电厂 28614 3270 8511 40395 25000 65395 铁路 40060 6540 8511 55111 30000 85111 小计 68674 35968 55322 159964 105000 264964 新创价值 45784 29427 29789 105000 总产值 114458 65395 85111 264964 一般说，在对一个国家或区域的经济用投入产出法进行分 析和研究时，首先根据统计数字制定投入产出表，进而计算出 有关的技术系数.对这些系数的分析，可以了解经济系统的结 构和各部门之间的数量关系，还可通过求解方程组来获知最终 需求的变动对各部门生产的影响 投入产出表

5.完全消耗 如果煤矿需要增加总产值10000元,它对各个 企业的产品或服务的完全需求分别将是多少? 在某个企业生产或提供服务时,对任何一个产 品的直接消耗事实上还蕴含着其他产品的间接消耗. 例如地方铁路在运输时直接消耗了煤,但它还通过 消耗电而间接消耗煤,因为电的生产需要消耗煤. 这样就有了完全消耗系数的概念 设煤矿、电厂和地方铁路生产单位产值对煤 电和铁路运输的总消 ,b, b 耗值(即完全消耗系数 分别为b;那么记 b=bb

5. 完全消耗 如果煤矿需要增加总产值10000元，它对各个 企业的产品或服务的完全需求分别将是多少？ 在某个企业生产或提供服务时，对任何一个产 品的直接消耗事实上还蕴含着其他产品的间接消耗. 例如地方铁路在运输时直接消耗了煤，但它还通过 消耗电而间接消耗煤，因为电的生产需要消耗煤. 这样就有了完全消耗系数的概念. 设煤矿、电厂和地方铁路生产单位产值对煤、 电和铁路运输的总消 耗值(即完全消耗系数) 分别为bij；那么记 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ = 333231 232221 131211 bbb bbb bbb B