中国科学技术大学：《线性代数》课程教学资源（讲义）第二章 行列式（2-1）行列式1/2

行列式概念的引进 ax t a x= b ax t ax= b 22 22 11 xX 12\ 22 1221 21 a 22 O C b-a. b 211 a11d X 122 12021 1122 12°21

行列式概念的引进 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ 121 222 2 111 212 1 bxaxa bxaxa 2211 2112 211 121 2 2211 2112 212122 1 aaaa baba x aaaa baba x − − = − − = 21122211 2221 1211 aaaa aa aa − =

12 C b 2201 1202 2 C 22 b 21 a 21 2 hbb 22 21 X 2 12 12 2 22 210122

121211 221 111 212122 222 121 baba ba ba baba ab ab −= −= 2221 1211 221 111 2 2221 1211 222 121 1 aa aa ba ba x aa aa ab ab x = =

12 13 +a,C、a1,+aL,. 1-2233 23--31 13-2132 C,C、C 13-°2231 C,C.、C、-c.C、,C 23--32 12--2 32 有两种方式确定三阶行列式的计算公式。 是利用对角线法则或称“沙流氏规则”。 二是利用二阶方阵的行列式

332112322311312213 322113312312332211 3231 33 2221 23 1211 13 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa −−− ++ = 有两种方式确定三阶行列式的计算公式。 一是利用对角线法则或称 “沙流氏规则 ” 。 二是利用二阶方阵的行列式

11a12413 21a2 2223 31"32"33 =a1(a2243-a23432)+12(23431-a213) +a13(a21(32-a2431) 22a23 2123 2122 =a1 +a13 3233 31a33 31a32

( ) ( () ) 3122322113 33213123123223332211 333231 232221 131211 aaaaa aaaaaaaaaa aaa aaa aaa A + − = +− − = 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa = a − +

1+1 2223 +(-1)2a12 2123 3233 3133 +(-1) 1+3 21422 13 3132 记41=(-1)23 3233 A42=(-1)2 +22123 1+3{a21022 13 3133 31432

3231 2221 13 31 3331 2321 12 21 3332 2322 11 11 )1( )1( )1( aa aa a aa aa a aa aa a + + + −+ −= −+ 3231 31 2221 13 3331 21 2321 12 3332 11 2322 11 )1( )1(, )1( aa aa A aa aa A aa aa A + + + −= −= 记 −=

A=a141+a12412+a1343 类似地有 4=an141+212412+a343,i=123 或A=a1 Aiita2j A;+ jT 3j3j2 j=1,2,3 A;成为元素a;的代数余子式 般地,对n阶方阵A,有:

++= AaAaAaA 131312121111 332211 ，，， 321 类似地有 ++= iiiiii iAaAaAaA = 或 ++= 332211 jjjjjj jAaAaAaA = ，，， 321 Aij成为元素 aij的代数余子式。 一般地 , 对 n阶方阵 A , 有 :

代数余子式 11a12 In 21 22 2n 2 nn 4yM,(yM,A4=(-)M

代数余子式 nn nn n n aaa aaa aaa A L MLMM L L 21 2221 2 1211 1 = Mij ij ji M+ − )1( Aij ij ji Aij M+ = − )1( aij

例如3阶行列式 53 426 9 M 23 23 36 般地,余子式为

例如3阶行列式 163 925 841 − − 63 41 M 23 = 63 41 A23 −= 一般地，余子式为

M:= C 1)(j-1) (i-1)(j+1 (i-1)n (i+1)(j-1) +1)(j+1) (i+1)n n(j+1)

n jn jn nn i ji ji ni i ji ji ni j j n a aa a a aa a a aa a a aa a L L MLMMLM L L L L MLMMLM L L 1 )1( )1( 1)1( )1)(1()1)(1( )1( 1)1( )1)(1()1)(1( )1( 11 )1(1 )1(1 1 − + + −+ ++ + − −− +− − − + Mij =

D=1 Aiu A;+…+ +(1242 11 (i=1,2,m) 或 D=a141 +a2;A y42;+…+a 2 ny n j=1,2,…n)

ni ),,( iiii AaAaAaD inin L L 21 2211 = = + + + nj ),,( jjjj AaAaAaD njnj L L 21 2211 = +++= 或