中国科学技术大学：《线性代数》课程教学资源（讲义）第七讲 向量空间

向量空间 、向量空间及其子空间 1定义:设V是n维向量的非空集合,如果V对于向量加法 及数乘两种运算封闭,即: Va,B∈V,k∈R,→a+B∈V,ka∈v 则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。 例如:D3 a=a1d a 1.02,03 Dla a 1.02,03 ∈R R C a 1.u2 am la1 a 2 ∈R n a=(0 2 ∈R 12==k1+k22+*…+kmmk1k,…,km∈R 1,02,∴Um 3 a 2 2 n a 2 n ∈R

向量空间 一、向量空间及其子空间 1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法 及数乘两种运算封闭，即： ∀α β ∈ ∈ RkV ,,, ⇒ α + β ∈ , α ∈VkV 则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。 例如： R { } == 32,132,1 ∈ Raaaaaa 3 α ,),( R { } n n Raaaaaa n α == 2,1 L 2,1 L ,,),,( ∈ V1 { } α == 2, L n 2 L ,,),,0( n ∈ Raaaa 2 { kkV ααα 2211 L+++== α mm 21 L,,, m ∈ Rkkkk } V3 {α == 2, L n 2 L ,,),,1( n ∈ Raaaa } ),,,( = L α α21 L α m

2子空间:W、V为向量空间,若W∈V,则称W是V的子空间。 如V1={a=(0,a2,…,an)a2, ∈R V2=L(a1,a2,…,Om)都是R"的子空间 例:V1=L( ai.a 2 am)V2=L(B1,B2,…,B3) 若a13a2,…,an与月,B2,…,月等价,则1=V2 只需证明1cV2且VV2 向量空间的基与维数 定义:若n维向量空间中的向量组a1,a2,…,a,满足 (1)a1,a2,…,a线性无关 (i)中向量均可由a1,a2…a,线性表示。 则称a1,a2…,a,为的一个基 基中所含向量个数r称为向量空间的维数

2.子空间：W、V 为 向量空间，若W⊂ V，则 称 W 是V 的子空间。 V { } Raaaa 1 α == 2, L n 2 L ,,),,0( n ∈ V2 = ),,,( L α α21 L α m 都是 的子空间。 n R V1 ),,,( L 21 m 如 = α α L α V2 ),,,( = L β β 21 L β s 例： 21 21 21 若α α L α m与β β L,,,,,, β s等价，则 = VV 只需证明 ⊂ 且 ⊃ VVVV 2121 向量空间的基与维数 定义：若n维向量空间V中的向量组α α 21 L,,, α r 满足 i α α 21 L,,,)( α r线性无关； )( Vii 中向量均可由α α 21 L,,, α r线性表示。 则称α α 21 L,,, α r为V的一个基。 基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数

R的维数为n;基为e,e2 V1={a=(0 an a 2 ∈R 的维数为n-1;基为e2,…,en; V2=L(a1,a2,…,am)的维数为 2,…,am2的秩r(a am)基为 a1,a2,…,m的极大无关组。 若向量空间的基为a1,a2,…,an→ V=L(a1,a2,…,ar)

Rn的维数为n； { } 的维数为 1； ,,),,0( 1 2, 2 − == ∈ n V α L n L n Raaaa ,,, ).,,,( ),,,( 21 21 2 21 m m m r LV ααα ααα α α α L L L 的秩 = 的维数为 α α21 L,,, α m的极大无关组。 基为 21 L,,, eee n； 基为 2 L,, ee n； 基为 若向量空间的基为α α α r ,,, 21 L ⇒ ),,,( = LV α α 21 L α r

向量在基下的坐标 定义:设1,Q2,…Cr是向量空间V的基,a∈V,且 C=k1C1+k2a2+…+k TwI 则称系数k1,k2,…,k,为a在基 a1,a2,…,ar下的坐标。 注:1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。(为什么?) 2.向量空间的基不惟一,因此向量在不同基下的坐标也不一样。 你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗? 3向量在一组基下的坐标如何求? 般有两种求法:待定系数法与矩阵方程法

向量在基下的坐标 rr α = α + kk α2211 + L + k α 定义： 设 α α α r ,,, 21 L 是向量空间V 的基， α ∈ V,且 α α 21 L ，，， α r下的坐标。 r 则称系数 L ，，， kkk 21 为 α在基 注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？） 2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。 你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？ 3.向量在一组基下的坐标如何求？ 一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法