《基础化学 Fundamentals in Chemistry》课程教学课件（分子形状与结构 The Shapes and Structures of Molecules）分子形状与结构原子分子结构（简明讲义）

厦门大学化学化工学院基础化学()分子形状与结构原子分子结构

厦门大学化学化工学院 基础化学(I) 分子形状与结构 原子分子结构

原子的电子结构任何物种（无论是原子、分子还是离子）的化学反应性都源于其电子结构。例如，氟具有极强的反应性，能与除三种元素（即氢、氛、氩）以外的所有元素形成化合物，而氟离子由于多出一个电子，使其与氛成为等电子体，其反应性要低得多，并且具有完全不同的化学性质。我们在本课程这一部分的目标：理解分子的电子结构，并了解如何运用电子结构预测分子的形状和化学反应的结果。预测分子中电子能级分布的最简单方法是将组成原子的能级组合起来。因此，我们首先关注原子的电子结构。能级与光电子能谱关于原子电子结构的信息可通过光电子能谱（photoelectronspectroscopy,PES)技术获得。该技术（利用我们在中学物理中学过的光电效应）使用已知能量的高能量光子（紫外光和X-射线）轰击样品，这些光子会从样品中击出电子，通过分析发射电子（又称光电子）的动能，可以推断出它们在原子中所具有的能量。下面显示了氢(He)、氛(Ne)和氩(Ar)原子的光电子能谱图。He15040302010Ne12p难以电离1s几十ev2s5040302010880870860Ar3p2pR2s几十ev1s几百ev3s3200eV1133040302010340320260250240电离能/eV高能量价电子一能量相近1

50 40 30 20 10 50 40 30 20 10 340 330 320 260 250 240 40 30 20 10 880 870 860 He Ne 1s 2p 2s 1s 2s 2p 3s 3p 1s 3200 eV 1 难以电离 几十 eV 几十 eV Ar 几百eV 电离能 / eV 高能量'价'电子-能量相近 原子的电子结构 任何物种（无论是原子、分子还是离子）的化学反应性都源于其电子结构。例如， 氟具有极强的反应性，能与除三种元素(即氦、氖、氩）以外的所有元素形成化合物， 而氟离子由于多出一个电子，使其与氖成为等电子体，其反应性要低得多，并且具有完 全不同的化学性质。 我们在本课程这一部分的目标：理解分子的电子结构，并了解如何运用电子结构预 测分子的形状和化学反应的结果。预测分子中电子能级分布的最简单方法是将组成原子 的能级组合起来。因此，我们首先关注原子的电子结构。 能级与光电子能谱 关于原子电子结构的信息可通过光电子能谱(photoelectron spectroscopy, PES)技术获 得。该技术（利用我们在中学物理中学过的光电效应）使用已知能量的高能量光子(紫 外光和X-射线)轰击样品，这些光子会从样品中击出电子，通过分析发射电子(又称光电 子)的动能，可以推断出它们在原子中所具有的能量。 下面显示了氦(He)、氖(Ne)和氩(Ar)原子的光电子能谱图

当氢原子受到高能射线光子轰击时，只会发射出一种能量的电子。这告诉我们気原子中的两个电子具有相同的能量。在氢的能谱中，有三个主峰一一在870eV左右的峰对应于第一壳层电子被移除；另外两个峰在20-50eV区域，这告诉我们第二壳层中有具有两种不同能量的电子。在氩的光谱中，有一个峰在3200eV左右（未在上方能谱中显示），两个主峰在数百eV区域，还有两个在数十eV区域。光电子能谱表明，在主能层内，能级还有进一步的细分。您可能已经熟悉这些能级以及它们是如何表示的。光电子能谱中的不同峰对应于从这些不同层中移除电子。例：Ar原子的电子结构可写为1s22s22p63s23p6中能差小能差大不同能层之间（即1s、2s和3s电子之间）存在巨大的能量差异，而每个能层内细分能级之间的能量差异则要小得多（即2s和2p之间或3s和3p电子之间）。轨道(Orbitals）和量子数（QuantumNumbers)原子中的电子被认为占据不同的轨道。我们稍后会确切了解轨道是什么，但目前我们可以将其视为一个能级。任何一个轨道最多可以容纳两个电子。原子有一个1s轨道，可以容纳两个电子。类似地，2s轨道可以容纳两个电子。有三个2p轨道，能量都相等，每个可以容纳两个电子。具有相同能量的轨道被称为简并的(degenerate)。d轨道具有五重简并度，因此，例如，有五个能量相同的3d轨道为了区分原子轨道，我们需要描述三件事：它属于哪个壳层（能层）？属于何种类型(s、P、d或f等)？为简并轨道中的哪一个？每个要素都对应一个量子数。我们在之前所指的“壳层”用主量子数n表示：n取整数值1、2、3、4....对于单电子体系，仅n值就决定了电子的能量。原子轨道类型（s、p、d、f、g、h等等）用角动量量子数(angularmomentumquantumnumber，有时称为角量子数)1来表示：1可以取整数值0、1、2等等，但其取值范围取决于主量子数n限制；I的可及取值为0到(n-1)的整数。2

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 2 例： Ar 原子的电子结构可写为 能差小 当氦原子受到高能X射线光子轰击时，只会发射出一种能量的电子。这告诉我们氦 原子中的两个电子具有相同的能量。在氖的能谱中，有三个主峰——在870 eV左右的峰 对应于第一壳层电子被移除；另外两个峰在20-50 eV区域，这告诉我们第二壳层中有具 有两种不同能量的电子。在氩的光谱中，有一个峰在3200 eV左右（未在上方能谱中显 示），两个主峰在数百eV区域，还有两个在数十eV区域。光电子能谱表明，在主能层 内，能级还有进一步的细分。您可能已经熟悉这些能级以及它们是如何表示的。光电 子能谱中的不同峰对应于从这些不同层中移除电子。 能差大 不同能层之间（即1s、2s和3s电子之间）存在巨大的能量差异，而每个能层内细分 能级之间的能量差异则要小得多（即2s和2p之间或3s和3p电子之间）。 轨道(Orbitals)和量子数(Quantum Numbers) 原子中的电子被认为占据不同的轨道。我们稍后会确切了解轨道是什么，但目前 我们可以将其视为一个能级。任何一个轨道最多可以容纳两个电子。原子有一个1s轨道 ，可以容纳两个电子。类似地，2s轨道可以容纳两个电子。有三个2p轨道，能量都相等 ，每个可以容纳两个电子。具有相同能量的轨道被称为简并的(degenerate)。d轨道具有 五重简并度，因此，例如，有五个能量相同的3d轨道 为了区分原子轨道，我们需要描述三件事：它属于哪个壳层(能层)？属于何种类 型(s、p、d或f等)？为简并轨道中的哪一个？每个要素都对应一个量子数。 我们在之前所指的“壳层”用主量子数n表示： n取整数值1、2、3、4. 对于单电子体系，仅n值就决定了电子的能量。 原子轨道类型(s、p、d、f 、g、h等等)用角动量量子数(angular momentum quantum number，有时称为角量子数) l 来表示：. l 可以取整数值0、1、2等等，但其取值范围取决于主量子数n限制； l的可及取值为0到(n-1)的整数

1的值决定了电子的轨道角动量：角动量=VI+1)=h/2元约化普朗克常数我们可以把这个角动量看作电子绕原子核运动的动量。稍后我们还会看到，1值不同的轨道具有不同的形状。每个1值都对应一个不同的字母：一=0,2.014,.5,1.dsPfh,g当n=1时，的唯一取值为0，这就是1s轨道。当n=2时，[可以是0或1，分别对应2s和2p轨道。当n=3时，1=0,1和2，分别对应3s、3p和3d轨道。标记轨道的第三个量子数是磁量子数(magneticquantumnumber)，mi。m取从+/到-/的整数值，步长为整数。m告告诉我们关于轨道取向的一些信息。（具体来说，它告诉我们角动量在特定轴上的分量。）对于s轨道（l=0)：ml=0是唯一可能的值，因此，对于每个n值（即每个壳层），只有一个s轨道。对于p轨道(I=1):m = +1,0, -1即同一n值有三个p轨道对于d轨道（l=2)：m = +2, +1,0, 1,-2即同一n值有五个d轨道三个量子数n、1和mi定义了电子占据的轨道，但如果我们要标记一个电子，还需要知道另外一件事。我们之前说过，电子在其轨道中运动时具有相关的角动量。它还具有其固有的自旋角动量。轨道角动量可以看作是电子在轨道中运动所具有的角动量，而这种自旋角动量可以看作是电子绕其内部轴自旋所具有的角动量（尽管请记住这只是一个类比）。GE自旋角动量轨道角动量O3

ml = +1, 0, −1 ml = +2, +1, 0, −1, − 3 2 角动量 = √ l(l + 1) = h/2π 约化普朗克常数 l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . s p d f g h, . . . 轨道角动量 自旋角动量 l 的值决定了电子的轨道角动量: 我们可以把这个角动量看作电子绕原子核运动的动量。稍后我们还会看到， l值不同的轨道具有不同的形状。 每个l值都对应一个不同的字母: 当n = 1时，l的唯一取值为0，这就是1s轨道。 当n = 2时, l可以是0或1，分别对应 2s 和 2p 轨道。 当n = 3时, l = 0, 1和 2 ，分别对应 3s、3p 和 3d 轨道。 标记轨道的第三个量子数是磁量子数(magnetic quantum number), ml。 ml 取从+l到-l的整数值，步长为整数。 ml 告告诉我们关于轨道取向的一些信息。（具体来说，它告诉我们角动量 在特定轴上的分量。） 对于 s 轨道 (l = 0): ml = 0 是唯一可能的值，因此，对于每个n值(即每个 壳层), 只有一个s轨道。 即同一n值有三个p轨道 即同一n值有五个d轨道 对于 p 轨道 (l = 1): 对于 d 轨道 (l = 2): 三个量子数n、l和ml定义了电子占据的轨道，但如果我们要标记一个电子，还 需要知道另外一件事。我们之前说过，电子在其轨道中运动时具有相关的角动量。它还 具有其固有的自旋角动量。轨道角动量可以看作是电子在轨道中运动所具有的角动量，而 这种自旋角动量可以看作是电子绕其内部轴自旋所具有的角动量（尽管请记住这只是一个 类比）。

与轨道角动量类似（其大小由1定义，其取向由m定义），自旋角动量也有两个量子数，自旋角动量的大小由量子数s定义，其取向由ms定义。电子的自旋量子数s值固定为s=1/2，即所有电子具有相同大小的固有角动量。m可以取的值是从+s到-s（整数步长），这意味着电子的自旋角动量可以以两种方式之一取向：m=+1/2和ms=-1/2由于历史原因，我们通常使用上、下箭头来标记电子自旋取向：个对应m，=+1/21对应ms=-1/2[注：这与NMR里原子核的自旋完全相似，核自旋用符号I来描述。对于IH,I=1/2，自旋方向有两种，个或1，对应于ml=+1/2和-1/2。对于2H，[=1，故m/有3(=2I+1)种方式的自旋取向，对应于m值-1、0、1。]小结要指定原子中电子的状态（确切地说，是单电子原子或离子，见后文），我们需要指定四个量子数：n(指定能量）告诉我们电子所1（指定轨道角动量的大小）处的原子轨道m(指定轨道角动量的方向）m，（指定电子自旋角动量的方向）告诉我们电子的自旋状态注意：无需指定s的值，因为所有电子都具有相同s值（s=1/2）一个基本的观察结果是，任一轨道（由n、1、m定义）最多只能两个电子，并且如果存在两个电子，则它们必须具有相反的自旋(ms=+1/2和ms=-1/2)。因此可以得出，原子中的任何电子都有一套“唯一的”四个量子数。这是泡利原理的一种形式。4

4 电子的自旋角动量大小是固定的（1/2）也就是所有的电子有相同的自旋角动量。 告诉我们电子所 处的原子轨道 告诉我们电子的自 旋状态 与轨道角动量类似（其大小由 l 定义，其取向由ml定义），自旋角动量也有两个 量子数, 自旋角动量的大小由量子数s定义，其取向由ms定义。 电子的自旋量子数 s 值固定为 s =1/2,即所有电子具有相同大小的固有角动量 。 ms 可以取的值是从 +s 到 −s (整数步长)，这意味着电子的自旋角动量可以以两种 方式之一取向：ms = +1/2 和 ms = −1/2 由于历史原因，我们通常使用上、下箭头来标记电子自旋取向: ↑对应 ms = +1/2 ↓ 对应 ms = −1/2 [注: 这与 NMR里原子核的自旋完全相似，核自旋用符号I来描述。对于 1H, I = 1/2，自旋方向有两种, ↑ 或 ↓, 对应于mI = +1/2和 −1/2。对于2H，I = 1，故mI有 3(=2I + 1)种方式的自旋取向 ,对应于mI值−1、0、1。] 小结 要指定原子中电子的状态（确切地说，是单电子原子或离子，见后文），我们需 要指定四个量子数： n (指定能量) l (指定轨道角动量的大小) ml (指定轨道角动量的方向) ms (指定电子自旋角动量的方向) 注意：无需指定s的值，因为所有电子都具有相同s值(s=1/2) 一个基本的观察结果是，任一轨道(由n、l、ml定义)最多只能两个电子，并且如果 存在两个电子, 则它们必须具有相反的自旋(ms = +1/2和ms = - 1/2)。 因此可以得出，原子中的任何电子都有一套“唯一的”四个量子数。这是泡利原理 的一种形式

细看轨道：波函数(wavefunctions）许多现象一一例如钟摆的摆动或全球人口的变化一一可以用数学函数来描述。例如，为了描述水面上的涟漪，我们可以使用基于正弦波的函数：y(x)=sin(x)(x) = sin x+值或+相2元/22元3元1元值或一相一-1-函数是一种数学工具，我们可以输入一个数字，它会输出一个新的数字。上例中，我们若是给x赋值元/2，即得到正弦函数值+1。量子力学为我们提供了对原子和分子电子结构的最佳理解。量子力学分析的结果表明，电子的性质也可以通过一个称为波函数的数学函数来描述，波函数用希腊字母山（音psi）表示。是坐标的函数，例如xy,&z，故可写成(xy,z)我们已经看到，原子中一个电子的性质取决于它所占据的原子轨道，原子轨道又是由量子数n、1和m定义。一个轨道就是一个波函数（具体地说，轨道是单电子波函数，我们稍后会看到)。每个轨道都需要一个不同的函数，每个函数由三个量子数n、1和mi定义。我们可以把原子轨道波函数写成：中n.m(x,y,z)即为位置坐标（x.Vz)的函数，不同原子轨道的波函数由不同的（n、1、m）定义。一旦知道了电子的波函数，就可以从中计算出有用的信息，例如电子的位置或动量。波函数的波恩诠释德国物理学家波恩(MaxBorn)于1926年对波函数的物理意义进行了统计诠释。波函数为概率波；（更准确的说是与其复共轭*的乘积，可为复数）为在给定位置发现电子的概率（probability)的度量，或者说μ2是电子在空间出现的概率密度分布函数。下图中所涉及的波函数为一维波函数。该波函数在x=0处发现电子的概率最大。在x=a处的概率（更准确地说是x=a与x=a+ox间的概率）a5

π/2 1π 4π -1 0 1 x +值 或 +'相' 2π 3π -值或 -'相' ψ2 a 在x = a处的概率（更准确地说是x = a与 x = a + δx间的概率） 该波函数在x = 0处发现电子的概率最大。 5 x 细看轨道：波函数(wavefunctions) 许多现象——例如钟摆的摆动或全球人口的变化——可以用数学函数来描述。例 如，为了描述水面上的涟漪，我们可以使用基于正弦波的函数：y(x) = sin(x) y(x) = sin x 函数是一种数学工具，我们可以输入一个数字，它会输出一个新的数字。上例中， 我们若是给x赋值π/2，即得到正弦函数值+1。 量子力学为我们提供了对原子和分子电子结构的最佳理解。量子力学分析的结果表 明，电子的性质也可以通过一个称为波函数的数学函数来描述，波函数用希腊字母ψ (音psi)表示。 ψ是坐标的函数，例如 x, y, & z，故可写成 ψ(x, y,z) 我们已经看到，原子中一个电子的性质取决于它所占据的原子轨道，原子轨道又 是由量子数n、l和ml定义。一个轨道就是一个波函数(具体地说，轨道是单电子波函 数，我们稍后会看到)。每个轨道都需要一个不同的函数，每个函数由三个量子数n 、l和ml定义。我们可以把原子轨道波函数写成: ψn,l,ml (x, y,z) 即为位置坐标(x,y,z)的函数，不同原子轨道的波函数由不同的（n、l、ml）定义。 一旦知道了电子的波函数，就可以从中计算出有用的信息，例如电子的位置或动量。 波函数的波恩诠释 德国物理学家波恩(Max Born)于1926年对波函数ψ的物理意义进行了统计诠释。 波函数ψ为概率波；ψ2（更准确的说是ψ与其复共轭ψ*的乘积，ψ可为复数）为在给定 位置发现电子的概率(probability)的度量，或者说ψ2是电子在空间出现的概率密度分 布函数。下图中所涉及的波函数为一维波函数

量子力学中我们只能讨论在给定位置找到电子的概率，这一观念与经典力学对比鲜明：在经典力学中，可以精确指定物体的位置。波恩诠释对什么样的波函数是可接受的施加了某些限制：·出具单值性，即在任一给定坐标下波函数值唯一，因为电子在空间中某处出现的概率只有一个值。Ea在x=α处有三个函数值，不充许！·业不能发散；对2曲线对所有可及x值的积分必须为有限值，因为该积分对应电子在所有可及空间出现的总概率。2y2阴影面积=电子在可及空间阴影面积无限一不妥！出现的总概率概率必须为有限值！每个波函函数都有一个给定的能量与之相关联，例如，1s轨道波函数的能量与2s轨道波函数的能量不同。计算波函数及其相关能量的方法是使用薛定方程。薛定号（Schrodinger）方程薛定谓方程的通式为常数(与波函数相关的能量）AY=EY波函数波函数算符（operator）6

x x = a x x H Ψ = E Ψ 6 在 x = a处有三个函数值，不允许！ 阴影面积无限 - 不妥! 概率必须为有限值！ 阴影面积 = 电子在可及空间 出现的总概率 算符(operator) 波函数 波函数 量子力学中我们只能讨论在给定位置找到电子的概率，这一观念与经典力学对比鲜 明；在经典力学中，可以精确指定物体的位置。 波恩诠释对什么样的波函数是可接受的施加了某些限制: • ψ 具单值性, 即在任一给定坐标下波函数值唯一，因为电子在空间中某处出现的概 率只有一个值。 • ψ 不能发散; 对 ψ2 曲线对所有可及 x 值的积分必须为有限值，因为该积分对应电 子在所有可及空间出现的总概率。 ψ 2 ψ 2 每个波函函数都有一个给定的能量与之相关联，例如，1s轨道波函数的能量与 2s轨道波 函数的能量不同。计算波函数及其相关能量的方法是使用薛定谔方程。 薛定谔(Schrodinger) ¨ 方程 薛定谔方程的通式为: 常数 (与波函数相关的能量)

要理解上述方程，需先了解算符和函数的区别函数的功能就是将一个数值转换为另一个数值。将数值一数值+1例如正弦函数sing算符的功能就是将一个函数转换为另一个函数。d例如将 sinx转换为 cosxdxd sinxX=coSxdx哈密顿算符H的构造方式是为了给出与波函数相关联的能量。“求解薛定方程意味着找到一个合适的函数出，当我们用哈密顿算符对其操作时，就会得到相同的函数乘以一个常数E，常数E就是与特定函数相关的能量。能量E包由势能（即“储存的”能量，例如通过与电场相互作用）和动能（即由于其运动）组成。哈密顿算符包含计算这两个部分的内容。对于氢原子，（描述其核外电子运动的）哈密顿算符为：e27A=2me4元80r电子的势能算符电子的动能算符92J>? (音‘del-squared)故氢原子的薛定调方程可写为：e?w=E山2max2+ay210-24元801其中=普朗克常数h除以2元me=电子质量80=真空介电常数e=电子电量r=电子与核的距离=Vx2+y?+z27

π 2 π 2 d dx = cosx Hˆ = − 2 2me ∇2 − e2 4πε0r ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 − 2 2me ∂2ψ ∂x2 + ∂2ψ ∂y2 + ∂2ψ ∂z2 − e2ψ 4πε0r = Eψ 7 例如 正弦函数 sin 将数值 −→ 数值 +1 例如 将 sinx 转换为 cosx d sinx dx 电子的动能算符 电子的势能算符 ∇ 2 (音 ‘del-squared’) = 故氢原子的薛定谔方程可写为： 其中 = 普朗克常数h除以 2π me = 电子质量 ε0 = 真空介电常数 e = 电子电量 r = 电子与核的距离 =  x 2 + y 2 + z 2 . 要理解上述方程，需先了解算符和函数的区别: 函数的功能就是将一个数值转换为另一个数值。 算符的功能就是将一个函数转换为另一个函数。 哈密顿算符 Hˆ 的构造方式是为了给出与波函数ψ相关联的能量。 ‘求解’薛定谔方程意味着找到一个合适的函数 ψ, 当我们用哈密顿算符对其操作时， 就会得到相同的函数乘以一个常数E，常数E就是与特定函数ψ相关的能量。 能量 E 包由势能（即“储存的”能量，例如通过与电场相互作用）和动能（即由 于其运动）组成。哈密顿算符包含计算这两个部分的内容。 对于氢原子，（描述其核外电子运动的）哈密顿算符为:

求解氢原子薛定方程氢原子（和其它单电子的类氢离子）的薛定谔方程可以精确求解。其解并非唯一而是由我们已经遇到过的量子数（n、l、mi）定义的一系列解，每个解（见附录)的数学形式不同。一般地，这些单电子体系薛定谓方程的解可表示为：'n, I. m (ax,y,z)其能量En为：核电荷数mee4-2对H原子来说其值为1En=.Xn28 h2×主量子数n特定轨道的能量是个只与n有关的常数这可以更方便地写成：2R为里德伯常数(Rydberg constant),En = - RH ×-其值取决于所使用的单位首先要注意的是，轨道的能量仅取决于n。这意味着2s和2p轨道具有相同的能量（即它们是简并的)，3s、3p和3d轨道也是简并的。我们已经看到，对于多电子原子，情况并非如此，例如，多电子原子中2s轨道的能量低于2p轨道。第二点要注意的是，预测的轨道能量是负的。随着n变大，E趋近于0。零能量对应于电子与原子核完全分离。把电子从最低能级提升到零能量所需要的能量就是单电子原子的电离能。以下给出氢原子的能级图。0分离的电子与质子n=8E3 = -RH/9n=3n=2E2 = -Rμ/ 4能量E电离能RH=氢原子基态的电离能n=1Ei = -RH8

En = - z 2 n 2 me e 4 8 ε0 h 2 2 En = - z 2 n 2 RH 0 n = 1 E1 = -RH E2 = -RH / 4 E3 = -RH / 9 n = 2 n = 3 n = 8 一个只与n有关的常数 核电荷数 对H原子来说其值为1 主量子数n 分离的电子与质子 能量E 电离能 RH = 氢原子基态的电离能 8 求解氢原子薛定谔方程 氢原子（和其它单电子的类氢离子）的薛定谔方程可以精确求解。其解并非唯一， 而是由我们已经遇到过的量子数（n、l、ml）定义的一系列解,每个解(见附录)的数学 形式不同。一般地，这些单电子体系薛定谔方程的解可表示为： ψ n, l, ml (x,y,z) 其能量En为: 特定轨道的能量是 这可以更方便地写成： RH 为里德伯常数(Rydberg constant), 其值取决于所使用的单位 首先要注意的是，轨道的能量仅取决于n。这意味着2s和2p轨道具有相同的能量(即它们 是简并的)，3s、3p和3d轨道也是简并的。我们已经看到，对于多电子原子，情况并非 如此，例如，多电子原子中2s轨道的能量低于2p轨道。 第二点要注意的是，预测的轨道能量是负的。随着n变大，En趋近于0。零能量对应于 电子与原子核完全分离。把电子从最低能级提升到零能量所需要的能量就是单电子原子 的电离能。以下给出氢原子的能级图

表示氢原子轨道虽然可以精确地求解氢原子的薛定调方程，但三维波函数实际的数学形式随量子数的变化变得十分复杂。在本课程中，我们将使用多种图形方法来表示这些解。为了做到这一点，用球极坐标比用笛卡尔坐标更加简便。故我们使用球坐标来定义电子相对于原子核的位置。z笛卡尔坐标球极坐标电子0≤≤元0≤Φ≤2元原子核1Yn, I, m, (x, y, =)n, I, m; (r, 0, 0)将波函数转换为极坐标表示的优点之一是可以写成两个函数的乘积，每个函数可以单独表示。Yn, l, m, (r; e, Φ) =Rn, 1 (r) ×Yi, m,(e, Φ)由n和/定义的径向部分由/和m定义的角度部分当我们要考虑在特定半径处找到电子的概率时，这种变量分离就变得特别有用。1s轨道下图显示的是1s轨道波函数的径向部分函数值随离核距离r变化的曲线。r/玻尔半径(Bohrradi)02341Y1s α e-roon(r≥0)e-r= 1e'o50100150200250r/pm9

z x y z x y ψn, l, ml (x, y, z) ψn, l, ml (r, θ, φ) y x z r θ φ ψn, l, ml (r, θ, φ) Yl, ml = Rn, l (r) (θ, φ) 500 543210 0 250200150100 wavefunction r / pm ψ1s e-r 8 ( r > 0 ) e -r e r 1 = 笛卡尔坐标 原子核 电子 0 < θ < π 0 < φ < 2π 球极坐标 由l和ml定义的角度部分 9 表示氢原子轨道 虽然可以精确地求解氢原子的薛定谔方程，但三维波函数实际的数学形式随量子数 的变化变得十分复杂。在本课程中，我们将使用多种图形方法来表示这些解。为了做到 这一点，用球极坐标比用笛卡尔坐标更加简便。故我们使用球坐标来定义电子相对于原 子核的位置。 将波函数转换为极坐标表示的优点之一是ψ可以写成两个函数的乘积，每个函数可 以单独表示。 由n和l定义的径向部分 当我们要考虑在特定半径处找到电子的概率时，这种变量分离就变得特别有用。 1s 轨道 下图显示的是1s轨道波函数的径向部分函数值随离核距离r变化的曲线。 r / 玻尔半径(Bohr radii)