《结构化学 Structural Chemistry》课程教学资源（教案讲义）第七章 晶体学基础 The basic knowledge of crystallography

第七章晶体学基础Chapter7.ThebasicknowledgeofcrystallographyS7.1晶体结构的周期性和点阵(Periodicityandlatticesofcrystalstructures)一.晶体远古时期，人类从宝石开始认识晶体。红宝石、蓝宝石、祖母绿等晶体以其晶莹剔透的外观，棱角分明的形状和艳丽的色彩，震憾人们的感官。名贵的宝石镶嵌在帝王的王冠上成为权力与财富的象征，而现代人类合成出来晶体，如超导晶体YBaCuO、光学晶体BaB2O4、LiNbO3、磁学晶体NdFeB等高科技产品，则推动着人类的现代化进程。世界上的固态物质可分为二类，一类是晶态，一类是非晶态。自然界存在大量的晶体物质，如高山岩石、地下矿藏、海边砂粒、两极冰川都晶体组成。人类制造的金属、合金器材，水泥制品及食品中的盐、糖等都属于晶体，不论它们大至成千万吨，小至毫米、微米，晶体中的原子、分子都按某种规律周期性地排列。另一类固态物质，如玻璃、明胶，碳粉、塑料制品等，它们内部的原子、分子排列杂乱无章，没有周期性规律，通常称为玻璃体、无定形物或非晶态物质。图7-1人工宝石晶体结构最基本的特征是周期性。晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复排列构成的固态物质，具有三维空间周期性。由于这样的内部结构，晶体具有以下性质1、均匀性：一块晶体内部各部分的宏观性质相同，如有相同的密度，相同的化学组成。晶体的均匀性来源于晶体由无数个极小的晶体单位（晶胞）组成，每个单位里有相同的原子、分子按相同的结构排列而成。气体、液体和非晶态的玻璃体也有均匀性，但那些体系中原子无规律地杂乱排列，体系中原子的无序分布导致宏观上统计结果的均匀性

第七章晶体学基础 Chapter 7. The basic knowledge of crystallography §7.1 晶体结构的周期性和点阵 (Periodicity and lattices of crystal structures) 一.晶体 远古时期,人类从宝石开始认识晶体。红宝石、蓝宝石、祖母绿等晶体以其晶莹剔透的外 观，棱角分明的形状和艳丽的色彩，震憾人们的感官。名贵的宝石镶嵌在帝王的王冠上， 成为权力与财富的象征，而现代人类合成出来晶体，如超导晶体 YBaCuO、光学晶体 BaB2O4、LiNbO3、磁学晶体 NdFeB 等高科技产品，则推动着人类的现代化进程。 世界上的固态物质可分为二类，一类是晶态，一类是非晶态。自然界存在大量的晶体物 质，如高山岩石、地下矿藏、海边砂粒、两极冰川都是晶体组成。人类制造的金属、合金 器材，水泥制品及食品中的盐、糖等都属于晶体，不论它们大至成千万吨，小至毫米、微 米，晶体中的原子、分子都按某种规律周期性地排列。另一类固态物质，如玻璃、明胶、 碳粉、塑料制品等，它们内部的原子、分子排列杂乱无章，没有周期性规律，通常称为玻 璃体、无定形物或非晶态物质。 图 7-1 人工宝石 晶体结构最基本的特征是周期性。晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复排列构 成的固态物质，具有三维空间周期性。由于这样的内部结构，晶体具有以下性质： 1、均匀性：一块晶体内部各部分的宏观性质相同，如有相同的密度，相同的化学组成。 晶体的均匀性来源于晶体由无数个极小的晶体单位（晶胞）组成，每个单位里有相同的原 子、分子按相同的结构排列而成。气体、液体和非晶态的玻璃体也有均匀性，但那些体系 中原子无规律地杂乱排列，体系中原子的无序分布导致宏观上统计结果的均匀性

2、各向异性：晶体在不同的方向上具有不同的物理性质，如不同的方向具有不同的电导率，不同的折光率和不同的机械强度等。晶体的这种特征，是由晶体内部原子的周期性排列所决定的。在周期性排列的微观结构单元之中，不同方向的原子或分子的排列情况是不同的，这种差异通过成千上万次叠加，在宏观体现出各向异性。而玻璃体等非晶态物质，微观结构的差异，由于无序分布而平均化了，所以非晶态物质是各向同性的。例如玻璃的折光率是各向等同的，我们隔着玻璃观察物体就不会产生视差变形。3、各种晶体生长中会自发形成确定的多面体外形。晶体在生长过程中自发形成晶面，晶面相交成为晶棱，晶棱聚成顶点，使晶体具有某种多面体外形的特点。熔融的玻璃体冷却时，随着温度降低，粘度变大，流动性变小，逐渐固化成表面光滑的无定形物，工匠因此可将玻璃体制成各种形状的物品，它与晶体有棱、有角、有晶面的情况完全不同。4、晶体有确定的熔点而非晶态没有。晶体加热至熔点开始熔化，熔化过程中温度保持不变，熔化成液态后温度才继续上升。而非晶态玻璃体熔化时，随着温度升高，粘度逐渐变小，成流动性较大的液体。5、晶体具有对称性。晶体的外观与内部微观结构都具有特定的对称性，以后几节会专门介绍。二.点阵与结构单元1895年Roentgen发现X射线，1912年Bragg首次用X射线衍射测定晶体结构，标志现代晶体学的创立。晶体内部原子、分子结构的基本单元，在三维空间作周期性重复排列，我们可用一种数学抽象一一点阵来研究它。若晶体内部结构的基本单元可抽象为一个或几个点，则整个晶体可用一个三维点阵来表示。点阵是一组无限的点，点阵中每个点都具有完全相同的周围环境。在平移的对称操作下（连结点阵中任意两点的失量，按此矢量平移），所有点都能复原，满足以上条件的一组点称为点阵。我们观察图7-2的二维平面几组点，在（a）组点中，每个点周围的环境不完全相同，所以不是点阵点，（b）组与（C）组点，每个点的周围环境都相同，平移失量a、b作用后图形都能复原，所以是点阵。图7-2

2、各向异性：晶体在不同的方向上具有不同的物理性质，如不同的方向具有不同的电导 率，不同的折光率和不同的机械强度等。晶体的这种特征，是由晶体内部原子的周期性排 列所决定的。在周期性排列的微观结构单元之中，不同方向的原子或分子的排列情况是不 同的，这种差异通过成千上万次叠加,在宏观体现出各向异性。而玻璃体等非晶态物质，微 观结构的差异，由于无序分布而平均化了，所以非晶态物质是各向同性的。例如玻璃的折 光率是各向等同的，我们隔着玻璃观察物体就不会产生视差变形。 3、各种晶体生长中会自发形成确定的多面体外形。 晶体在生长过程中自发形成晶面，晶面相交成为晶棱，晶棱聚成顶点，使晶体具有某种多 面体外形的特点。 熔融的玻璃体冷却时，随着温度降低，粘度变大，流动性变小，逐渐固化成表面光滑的无 定形物，工匠因此可将玻璃体制成各种形状的物品，它与晶体有棱、有角、有晶面的情况 完全不同。 4、晶体有确定的熔点而非晶态没有。晶体加热至熔点开始熔化，熔化过程中温度保持不 变，熔化成液态后温度才继续上升。而非晶态玻璃体熔化时，随着温度升高，粘度逐渐变 小，成流动性较大的液体。 5、晶体具有对称性。晶体的外观与内部微观结构都具有特定的对称性，以后几节会专门 介绍。 二.点阵与结构单元 1895 年Roentgen 发现 X 射线，1912 年 Bragg 首次用 X 射线衍射测定晶体结构，标志现代 晶体学的创立。晶体内部原子、分子结构的基本单元,在三维空间作周期性重复排列，我们 可用一种数学抽象——点阵来研究它。若晶体内部结构的基本单元可抽象为一个或几个 点，则整个晶体可用一个三维点阵来表示。 点阵是一组无限的点，点阵中每个点都具有完全相同的周围环境。在平移的对称操作下， （连结点阵中任意两点的矢量，按此矢量平移），所有点都能复原，满足以上条件的一组 点称为点阵。 我们观察图 7-2 的二维平面几组点，在（a）组点中，每个点周围的环境不完全相同，所 以不是点阵点，（b）组与（C）组点，每个点的周围环境都相同，平移矢量 a、b 作用后， 图形都能复原，所以是点阵。 图 7-2

我们研究的晶体含有各种原子、分子，它们按某种规律排列成基本结构单元，我们可按结构基元抽象为点阵点。我们先观察二维周期排列的一些原子、分子。（a）为金属Cu的一层平面排列，每个Cu原子可抽取一个点阵点。在二维平面中，可将点阵点连接成平面格子。.(b)(a)3(d)(c)图7-3二维周期排列的晶体结构及平面格子我们研究的晶体含有各种原子、分子，它们按某种规律排列成基本结构单元，我们可按结构基元抽象为点阵点。我们先观察二维周期排列的一些原子、分子。（a）为金属Cu的一层平面排列，每个Cu原子可抽取一个点阵点。在二维平面中，可将点阵点连接成平面格子。(a)(b)3美上(e)(d)图7-4请注意：六方格子包含了六重旋转轴的对称性，每个点阵点周围有6个点阵点相邻，但六方格子的基本单位必须取平行四边形。讨论二维点阵结构后，进一步分析晶体结构。晶体结构是在三维空间伸展的点阵结构。由晶体结构抽取的空间点阵中，一定可以找出与3个基本周期对应的3个互不平行的矢量a、b、c。与空间点阵相应的平移群是：Tmnp=ma+nb+pcm,n,p=0,±1,±2....平移a、b、c矢量将点阵点相互连结起来，可将空间点阵划分为空间格子，空间格子将晶体结构截成一个包含相同内容的单位，这个基本单位叫晶胞

我们研究的晶体含有各种原子、分子，它们按某种规律排列成基本结构单元，我们可按结 构基元抽象为点阵点。 我们先观察二维周期排列的一些原子、分子。（a）为金属 Cu 的一层平面排列，每个 Cu 原子可抽取一个点阵点。在二维平面中，可将点阵点连接成平面格子。 图 7-3 二维周期排列的晶体结构及平面格子 我们研究的晶体含有各种原子、分子，它们按某种规律排列成基本结构单元，我们可按结 构基元抽象为点阵点。 我们先观察二维周期排列的一些原子、分子。（a）为金属 Cu 的一层平面排列，每个 Cu 原子可抽取一个点阵点。在二维平面中，可将点阵点连接成平面格子。 图 7-4 请注意：六方格子包含了六重旋转轴的对称性，每个点阵点周围有 6 个点阵点相邻，但六 方格子的基本单位必须取平行四边形。 讨论二维点阵结构后，进一步分析晶体结构。晶体结构是在三维空间伸展的点阵结构。由 晶体结构抽取的空间点阵中，一定可以找出与 3 个基本周期对应的 3 个互不平行的矢量 a、b、c。与空间点阵相应的平移群是： Tmnp=ma+nb+pc m,n,p=0, ±1,±2. 平移 a、b、c 矢量将点阵点相互连结起来，可将空间点阵划分为空间格子，空间格子将晶 体结构截成一个包含相同内容的单位，这个基本单位叫晶胞

图7-5空间点群三.晶胞晶胞是晶体组成的基本单元。晶胞有二个要素：一是晶胞的大小、型式，另一是晶胞的内容。晶胞的大小、型式由a、b、c三个晶轴及它们间的夹角α.βB.v所确定。晶胞的内容由组成晶胞的原子或分子及它们在晶胞中的位置所决定。图7-7为CsCI的晶体结构。CI与Cs的1:1存在。若CsCI取一点阵点，我们可将点阵点取CI的位置。根据CI的排列，我们可取出一个a=b=c，α=β==90的立方晶胞，其中8个CI原子位于晶胞顶点但每个顶点实际为8个晶胞共有，所以晶胞中含8x1/8=1个CI原子。Cs原子位于晶胞中心。晶胞中只有1个点阵点。故为素晶胞。图7-6为8个CsCl晶胞。右上角为一个单胞。图7-6CsCI晶体结构图7-7是金刚石的晶胞。金刚石也是一个a=b=cα=β==90°的立方晶胞，晶胞除了顶点8x1/8=1个C原子外，每个面心位置各有1个C原子，由于面心位置℃原子为2个晶胞共有。故6x1/2=3个C原子，除此晶胞内部还有4个C原子，所以金刚石晶胞共有1+3+4=8个C原子。对于晶胞的棱心位置的原子，则为4个晶胞共有，计数为1/4个

图 7-5 空间点群 三 .晶胞 晶胞是晶体组成的基本单元。晶胞有二个要素：一是晶胞的大小、型式，另一是晶胞的内 容。晶胞的大小、型式由 a、b、c 三个晶轴及它们间的夹角 α.β.γ 所确定。晶胞的内容由 组成晶胞的原子或分子及它们在晶胞中的位置所决定。图 7-7 为 CsCl 的晶体结构。Cl 与 Cs 的 1:1 存在。 若 CS +Cl－取一点阵点，我们可将点阵点取 Cl－的位 置。根据 Cl－的排列，我们可取出一个 a=b=c，α=β=γ ＝90º 的立方晶胞，其中 8 个 Cl 原子位于晶胞顶点， 但每个顶点实际为 8 个晶胞共有，所以晶胞中含 8×1/8=1 个 Cl 原子。Cs 原子位于晶胞中心。晶胞中只 有 1 个点阵点。故为素晶胞。图 7-6 为 8 个 CsCl 晶 胞。右上角为一个单胞。 图 7-6 CsCl 晶体结构 图 7-7 是金刚石的晶胞。金刚石也是一个 a=b=c， α=β=γ＝90º 的立方晶胞，晶胞除了顶点 8×1/8=1 个 C 原子外，每个面心位置各有 1 个 C 原子，由于面心位 置 C 原子为 2 个晶胞共有。故 6×1/2=3 个 C 原子，除 此晶胞内部还有 4 个 C 原子，所以金刚石晶胞共有 1 ＋3＋4＝8 个 C 原子。 对于晶胞的棱心位置的原子， 则为 4 个晶胞共有，计数为 1/4 个

图7-7金刚石晶胞四.晶面1、晶面指标不同方向的晶面，由于原子、分子排列不同，具有不同的性质。为了区别，晶体学中给予不同方向的晶面以不同的指标，称为晶面指标。设有一组晶面与3个坐标轴x、Y、z相交，在3个坐标轴上的截距分别为r,s,t(以a,b,c为单位的截距数目），截距数目之比r:s:t可表示晶面的方向。但直接用截距比表示时，当晶面与某一坐标轴平行时，截距会出现o，为了避免这种情况发生，：规定截距的倒数比1/r:1/s:1/t作为晶体指标。由于点阵特性，截距倒数比可以成互质整数比图7-81/r:1/s:1/t=h:k:l，晶面指标用（hkl）表示。图7-8中，r、S、t分别为2，2，3；1/r:1/s:1/t=1/2:1/2:1/3=3:3:2，即晶面指标为（332），我们说（332）晶面，实际是指一组平行的晶面。图7-9示出立方晶系几组晶面及其晶面指标。（100）晶面表示晶面与1/a轴相截与b轴、c轴平行；（110）晶面面表示与a和b轴相截，与c轴平行；（111）晶面则与a、b、c轴相截，截距之比为1:1:1(100)(110))图7-9立方晶体几组晶面晶面指标出现负值表示晶面在晶轴的反向与晶轴相截。晶面(001）、（00T）、（010)(0T0)、（100）、（T00）可通过3重或4重旋转轴联系起来，晶面性质是相同的，可用(100)符号来代表这6个晶面。同理可用(111)代表(111）、（TTT）、（11T）()、()、（）（)、（)：个晶面。2、晶面间距一组平行晶面（hkl）中两个相邻平面间的垂直距离称为晶面间距，用dhkl表示。s7.2晶体的对称性（Symmetryincrystal)

图 7-7 金刚石晶胞 四 .晶面 1、晶面指标 不同方向的晶面，由于原子、分子排列不同，具有不同的性质。为了 区别，晶体学中给予不同方向的晶面以不同的指标，称为晶面指标。 设有一组晶面与 3 个坐标轴 x、y、z 相交，在 3 个坐标轴上的截距分 别为 r,s,t(以 a,b,c 为单位的截距数目)，截距数目之比r:s:t 可表示晶面 的方向。但直接用截距比表示时，当晶面与某一坐标轴平行时，截距 会出现∞，为了避免这种情况发生，规定截距的倒数比 1/r:1/s:1/t 作 为晶体指标。由于点阵特性，截距倒数比可以成互质整数比 1/r:1/s:1/t=h:k:l，晶面指标用（hkl）表示。 图 7-8 图 7-8 中，r、s、t 分别为 2，2，3；1/r:1/s:1/t=1/2:1/2:1/3=3:3:2，即晶面指标为 （332），我们说（332）晶面，实际是指一组平行的晶面。 图 7-9 示出立方晶系几组晶面及其晶面指标。（100）晶面表示晶面与 1/a 轴相截与 b 轴、c 轴平行；（110）晶面面表示与 a 和 b 轴相截，与 c 轴平行；（111）晶面则与 a、 b、c 轴相截，截距之比为 1:1:1 图 7-9 立方晶体几组晶面 晶面指标出现负值表示晶面在晶轴的反向与晶轴相截。晶面 、 、 、 、 、 可通过 3 重或 4 重旋转轴联系起来，晶面性质是相同的，可 用{100}符号来代表这 6 个晶面。同理可用{111}代表 、 、 、 、 、 、 、 8 个晶面。 2、晶面间距 一组平行晶面（hkl）中两个相邻平面间的垂直距离称为晶面间距，用 dhkl表示。 §7.2 晶体的对称性(Symmetry in crystal)

一.七个晶系根据晶体的对称性，可将晶体分为七个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。对称性高的晶体，晶胞的规则性强，如立方晶系的晶胞是立方体，晶胞三个边长（即晶轴单位长度）相等并互相垂直。这样的晶体，通过立方晶胞4个体对角线方向各有1个3重轴。这四个3重轴称为立方晶系的特征对称元素。我们若在晶体外形或宏观性质中发现4个3重轴，就可判定该晶体结构中必定存在立方晶系（英文为Cubic）。由于立方晶系的晶体包含一个以上高次轴，也将立方晶系称作高级晶系。还有些晶系，晶胞中至少有2个晶轴的单位长度是相等的，更重要的是这些晶胞中都有一个高次轴（6次轴、4次轴或3次轴），这个高次轴就称为他们的特征对称元素。这些晶系有六方晶系（Hexagonal）、四方晶系（Tetragonal）、三方晶系（Trigonal）。由于它们晶胞形状规则性比立方晶系低，又统称为中级晶系。六方晶系的特征是宏观可观察到6次轴对称性，但每个晶胞仍是a、b晶轴相等，夹角为120°的平行六面体。四方晶系中晶轴夹角都是90°a、b轴亦相等。另有3个晶系是正交晶系（Orthorhombic）、单斜晶系（Monoclinic）、三斜晶系(Triclinic），特征对称元素都不包含高次轴，所以统称为低级晶系。正交晶系三个晶轴互相垂直，晶胞是边长不相等的长方体。单斜晶体有一个晶轴夹角不等于90°。三斜晶体三个晶轴夹角都不等于90°表7-1七个晶系及有关特征晶系特征对称元素晶胞特点空间点阵型式简单立方a=b=c4个按立方体对角线取向立方晶系立方体心的3重旋转轴α=β==90°立方面心a=btc六方晶系6重对称轴简单六方α=β=90=120简单四方a=b+c四方晶系4重对称轴α=β==90°体心四方简单六方a=b=c三方晶系3重对称轴α=β=+90°R心六方

一.七个晶系 根据晶体的对称性，可将晶体分为七个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。 对称性高的晶体，晶胞的规则性强，如立方晶系的晶胞是立方体，晶胞三个边长（即晶轴 单位长度）相等并互相垂直。这样的晶体，通过立方晶胞 4 个体对角线方向各有 1 个 3 重 轴。这四个 3 重轴称为立方晶系的特征对称元素。我们若在晶体外形或宏观性质中发现 4 个 3 重轴，就可判定该晶体结构中必定存在立方晶系（英文为 Cubic）。由于立方晶系的晶 体包含一个以上高次轴，也将立方晶系称作高级晶系。 还有些晶系，晶胞中至少有 2 个晶轴的单位长度是相等的，更重要的是这些晶胞中都有一 个高次轴（6 次轴、4 次轴或 3 次轴），这个高次轴就称为他们的特征对称元素。这些晶系 有六方晶系（Hexagonal）、四方晶系（Tetragonal）、三方晶系（Trigonal）。由于它们晶胞形 状规则性比立方晶系低，又统称为中级晶系。六方晶系的特征是宏观可观察到 6 次轴对称 性，但每个晶胞仍是 a、b 晶轴相等，夹角为 120°的平行六面体。四方晶系中晶轴夹角都 是 90°，a、b 轴亦相等。 另有 3 个晶系是正交晶系（Orthorhombic）、单斜晶系（Monoclinic）、三斜晶系 （Triclinic），特征对称元素都不包含高次轴，所以统称为低级晶系。 正交晶系三个晶轴互相垂直，晶胞是边长不相等的长方体。单斜晶体有一个晶轴夹角不等 于 90°。三斜晶体三个晶轴夹角都不等于 90°。 表 7－1 七个晶系及有关特征 晶系 特征对称元素 晶胞特点 空间点阵型式 立方晶系 4 个按立方体对角线取向 的 3 重旋转轴 a=b=c α=β=γ=90° 简单立方 立方体心 立方面心 六方晶系 6 重对称轴 a=b≠c α=β=90°,γ=120° 简单六方 四方晶系 4 重对称轴 a=b≠c α=β=γ=90° 简单四方 体心四方 三方晶系 3 重对称轴 a=b=c α=β=γ≠90° 简单六方 R 心六方

简单正交2个互相垂直的对称面或C心正交atbtc正交晶系3个互相垂直的2重对称α=β=V=90°体心正交轴面心正交简单单斜atbtc单斜晶系2重对称轴或对称面α=β=90°+yC心单斜atb+c无简单单斜三斜晶系a*b*c+90°二.14种空间点阵形式早在1866年Bravias将点阵点在空间分布按正当中国国晶胞的规定进行分类，得到14种形式，后人也将其称为布拉维格子。立方立方I立方P由于点阵特征：点阵中每个点都具有相同的周围环境，即相同的对称性。根据选取正当晶胞的原山则，在照顾对称性的条件下，尽量选取含点阵点较少的作为晶胞，这样每个晶系都有简单格子方（即素单位）。有些晶系还有含体心、面心、底心四方P四方六方的复单位存在。如立方晶系，除了简单立方外，还有体心立方（0）、面心立方（F）（立方体每个可血回面中心还有一个点阵点），都满足立方晶系4个3重轴的对称性。而立方体中，若两个平行面带心（无论是底心、侧心）都会破坏3重轴对称性。正交P正交F正交C正交所以立方晶系只有简单（P）、体心（0）、面心(F）三种格子。图7-1014种空间点阵形式是A按《晶体学国际表》规定画出来的，图中没有三方菱面体素单位，而以R心的六方点阵单位代替。单斜P斜二斜P由于六方晶系和三方晶系都可以划出六方晶胞的星图7-1014种布拉威空间点群点阵单位，它既满足三方晶系的对称性，也满足六方晶系的对称性。不同的称呼是由于历史原因造成的。六方晶系按六方点阵单位表达，均为素

正交晶系 2 个互相垂直的对称面或 3 个互相垂直的 2 重对称 轴 a≠b≠c α=β=γ=90° 简单正交 C 心正交 体心正交 面心正交 单斜晶系 2 重对称轴或对称面 a≠b≠c α=β=90°≠γ 简单单斜 C 心单斜 三斜晶系 无 a≠b≠c a≠b≠c≠90° 简单单斜 二.14 种空间点阵形式 早在 1866 年 Bravias 将点阵点在空间分布按正当 晶胞的规定进行分类，得到 14 种形式，后人也将 其称为布拉维格子。 由于点阵特征，点阵中每个点都具有相同的周围 环境，即相同的对称性。根据选取正当晶胞的原 则，在照顾对称性的条件下，尽量选取含点阵点 较少的作为晶胞，这样每个晶系都有简单格子 （即素单位）。有些晶系还有含体心、面心、底心 的复单位存在。如立方晶系，除了简单立方外， 还有体心立方（I）、面心立方（F）（立方体每个 面中心还有一个点阵点），都满足立方晶系 4 个 3 重轴的对称性。而立方体中，若两个平行面带心 （无论是底心、侧心）都会破坏 3 重轴对称性。 所以立方晶系只有简单（P）、体心（I）、面心 （F）三种格子。图 7－10 14 种空间点阵形式是 按《晶体学国际表》规定画出来的，图中没有三 方菱面体素单位，而以 R 心的六方点阵单位代 替。 由于六方晶系和三方晶系都可以划出六方晶胞的 点阵单位，它既满足三方晶系的对称性，也满足 六方晶系的对称性。不同的称呼是由于历史原因 造成的。六方晶系按六方点阵单位表达，均为素 图 7-10 14 种布拉威空间点群

格子（hp）。而三方晶系按六方晶系表达时，一部分是素格子（hp），另一部分为包含3个点阵点的复单位（hR），图7-11画出了同一点阵的两种划分。三方晶系的这两种点阵符号在空间群一直沿用着。四方晶系有两种格子，一是简单格子(tP)，一是体心四方（tI）复格子，如若要划底心四方格子则可以取出体积更小的简单四方格子，所以底心四方不存在。同样四方面心可以取出体积更小的四方体心格子。正交晶系有四种格子：简单正交（OP），体心正交（Ol)，面心正交（OF）和底心正交（OC)。单斜晶系有简单单斜（mP）和底心单斜（mC）。三斜晶系只有简单格子（aP)。图7-11 (b)图 7-11 (a)三.32个晶体学点群晶体的理想外形和宏观观察到的对称性，称宏观对称性。由于宏观观察区分不了平移的差异，因此微观结构中一些特殊的螺旋轴、滑移面，在宏观中表现为旋转轴和对称面，即在宏观仍可以用点群来区分晶体的对称性，但由于晶体点阵平移性质的限制，旋转轴只能有1，2.3，4，6次轴，因此总共只有32个晶体学点群C，：n=1,2,3,4,6即C1，C21C3，C4，Ce；五个点群

格子（hp）。而三方晶系按六方晶系表达时，一部 分是素格子（hp），另一部分为包含 3 个点阵点的 复单位（hR），图 7-11 画出了同一点阵的两种划 分。三方晶系的这两种点阵符号在空间群一直沿 用着。 四方晶系有两种格子，一是简单格子（tP），一是 体心四方（tI）复格子，如若要划底心四方格子， 则可以取出体积更小的简单四方格子，所以底心 四方不存在。同样四方面心可以取出体积更小的 四方体心格子。 正交晶系有四种格子：简单正交（OP），体心正 交（OI），面心正交（OF）和底心正交（OC）。 单斜晶系有简单单斜（mP）和底心单斜（mC）。 三斜晶系只有简单格子（aP）。 图 7-11（a） 图 7-11（b） 三.32 个晶体学点群 晶体的理想外形和宏观观察到的对称性，称宏观对称性。由于宏观观察区分不了平移的差 异，因此微观结构中一些特殊的螺旋轴、滑移面，在宏观中表现为旋转轴和对称面，即在 宏观仍可以用点群来区分晶体的对称性，但由于晶体点阵平移性质的限制，旋转轴只能有 1，2，3，4，6 次轴，因此总共只有 32 个晶体学点群。 Cn：n=1,2,3,4,6 即 C1，C2，C3，C4，C6；五个点群；

Cnv:C2v，C3vC4v，C6v，四个点群;Cnh：Cih=CS,CzhC3hC4h，Cch，五个点群Sn：S，与C3h等同，不重复计算，只有S2=i,S4，S6，三个点群D，:D2，D3，D4，Dg，四个点群;Dnh：Dzh，D3h，D4h，Dh；四个点群;Dnd：该类点群含有平分面oa，使映转轴次数要扩大一倍，故只有D2d；D3d以上共27个点群，还有5个高阶群：T、Ta、Tu、O、On。32个点群有2种表示符号，一种是Schoenflies符号，即以上所用符号，还有一种是晶体学中通用的国际符号，第一个大写符号表示点阵形式，后面3个位置表示某方面的对称元素。表7-3国际符号中3个位置代表的方向2晶系13立方aa+ba+b+c六方Ca2a+b四方Ca+b三方a-ba+b+c正交bc单斜b表7-432个晶体学点群晶系Shoenflies符号国际符号C1三斜TS2Cm单斜C22

Cnv：C2v，C3v，C4v，C6v，四个点群； Cnh：C1h＝Cs，C2h，C3h，C4h，C6h，五个点群； Sn：S3与 C3h等同，不重复计算，只有 S2＝i，S4，S6，三个点群； Dn：D2，D3，D4，D6，四个点群； Dnh：D2h，D3h，D4h，D6h，四个点群； Dnd：该类点群含有平分面 σd，使映转轴次数要扩大一倍，故只有 D2d，D3d 以上共 27 个点群，还有 5 个高阶群：T、Td、Tu、O、Oh。 32 个点群有 2 种表示符号，一种是 Schoenflies 符号，即以上所用符号，还有一种是晶体 学中通用的国际符号，第一个大写符号表示点阵形式，后面 3 个位置表示某方面的对称元 素。 表 7－3 国际符号中 3 个位置代表的方向 晶系 1 2 3 立方 a a＋b＋c a＋b 六方 c a 2a＋b 四方 c a a＋b 三方 a＋b＋c a－b ―― 正交 a b c 单斜 b ―― ―― 表 7－4 32 个晶体学点群 晶系 Shoenflies 符号 国际符号 三斜 C1 S2 1 T 单斜 Cs C2 m 2

C2h2/mC2vmm2正交D2222Dzhmmm4C414S44/mCah四方4mmCav42mDzdD4422Dah4/mmm3C3ImS6三方3mCav32D31ND3d5m6CoOCah6/mCh六方Cov6mm622D67D3h6m2Dsh6/mmmT23Th3立方m.Ta43m0

C2h 2/m 正交 C2v D2 D2h m m 2 2 2 2 m m m 四方 C 4 S 4 C4h C4v D2d D4 D4h 4 4/m 4 m m 2 m 4 2 2 4/m m m 三方 C 3 S 6 C3v D3 D3d 3 3m 3 2m 六方 C 6 C3h C6h C6v D6 D3h D6h 6 6/m 6 m m 6 2 2 m 2 6/m m m 立方 TT h T dO 2 3 m 3 m