天津大学：《工程光学》课程PPT教学课件（几何光学、物理光学）第十二章 光的衍射（Diffraction）（12.3）夫琅和费衍射（Fraunhofer diffraction）与傅立叶变换（Fourier transformation）

第三节夫琅和费衍射( Fraunhofer diffraction) 与傅立叶变换( Fourier transformation) 傅里叶变换的定义 对于一个可积的复函数f(x,y),做积分 F(u,v)=∫∫f(x,y)exp[-i2n(x+y)axh 天津大学精仪学院 称F(u,v)是f(x,y)的傅里叶变换 对F(uν)做傅里叶逆变换,得到f(x,y) f(x,y)=「∫F(,v)exp[i2x(x+y)hchv f(x,y)和F(u,v)互为傅里叶变换对。 天津大学作 24

1 一、傅里叶变换的定义 称 是 的傅里叶变换。 对于一个可积的复函数 ，做积分 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )exp[ 2 ( )] ( , ) F u v f x y F u v f x y i xu yv dxdy f x y =   − +  −  =   +  − f x y F u v i xu yv dudv F u v f x y ( , ) ( , )exp[ 2 ( )] ( , ) ( , )  对 做傅里叶逆变换，得到 f ( x,y )和F(u,v )互为傅里叶变换对。 第三节 夫琅和费衍射（Fraunhofer diffraction） 与傅立叶变换（Fourier transformation）

f(x,y)=∫∫F(u,v)expi2m(xy)ch 天 津傅里叶变换的意义: 大 学 函数f(x,y)可以分解为无穷多个不同 精 仪 频率()基频函数exp2z(x+y)的 学 院 组合,而每个函数所占的权重是 F(u, v)dudy 天津大学作 24

2 。 组合，而每个函数所占的权重是： 频率 的基频函数 的 函数 可以分解为无穷多个不同 傅里叶变换的意义： F u v dudv u v i xu yv f x y ( , ) ( , ) exp[ 2 ( )] ( , )  +    − f (x, y) = F(u,v)exp[i2 (xu + yv)]dudv

二、光衍射和傅里叶变换 1夫琅和费衍射和傅里叶变换 对于夫琅和费衍射 ∞ E(x,y)=CJ JE(x1, y1 )exp[-ik(xx1 +wy1) f ]dxdy ∞2 一 其中C= 1expik(f+x2+y 2f 天津大学精仪学院 若设: u= = 则有:E(u,v)=C∫E(x1,y1)exp[-i2(ux1+yi)]dx1dy ∞ 除常数项外,夫琅和费衍射的复振幅分布E(u,v是衍射物体复 振幅分布E(x1,y1)的傅里叶变换。 天津大学制作 3 24

3 , f y v f x u = = l l 振幅分布 的傅里叶变换。 除常数项外，夫琅和费衍射的复振幅 分布 是衍射物体复 则有： 若设： 其中 对于夫琅和费衍射 夫琅和费衍射和傅里叶变换 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) exp[ 2 ( )] )] 2 exp[ ( 1 ( , ) ( , ) exp[ ( )/ ] 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 E x y E u v E u v C E x y i ux vy dx dy f x y ik f i f C E x y C E x y ik xx yy f dx dy      −  − = − + + = + = − +  l 二、光衍射和傅里叶变换

例:狭缝函数 f(x) f(x) 2 0其它 天津大学精仪学院 F(u)=5 exp(-i2xu)dx lexp(-incua)-exp(inua) 2u sin( ud 天津大学作 24

4 sin( ) [exp( ) exp( )] 2 1 ( ) exp( 2 ) 0 2 1 x ( ) 2 2 ua ua a i ua i ua i u F u i xu dx a f x a a       =  − − − = = −      =  − 其它 例：狭缝函数 f (x) x 2 a 2 a −

sin(ud F(u=a 将 代入上式得: sIn(t 天津大学精仪学院 sin(asing SIna F(x=a f C a sin e 与通过夫朗和费衍射积分求解方法得到的结果相同。 天薄大学制华 24

5 sin( ) ( ) ua ua F u a   =  将 f x u = l 代入上式得： sin( ) sin( sin ) sin ( ) sin x a a f F x a a a x a a f    l l      l l =  = = 与通过夫朗和费衍射积分求解方法得到的结果相同

F(u=a sin(rua) 则f(x)=∫∫F(n)expt2xd 即一个方波函数f (x)可以 天津大学精仪学院 分解成许多个频率 (l) 为的基频函数ex(12的和,sm(mo,d nd 而每个频率占的权重是 sin( za) 天津大学作 24

6 F( u ) u ua ua d sin( )   d u sin( ) exp( 2 ) ( ) u ua ua u i x u f x    而每个频率占的权重是： 为 的基频函数 的和， 分解成许多个频率 即一个方波函数 可以 sin( ) ( ) ua ua F u a  =   − 则 f ( x ) = F ( u ) exp[ i 2 x u ]du

2.光学衍射的物理意义 A.有限光学孔径将入射的光衍射到各个方向,每个方 向都可以看成一个平面波分量。这些平面波被透 镜汇聚在焦平面的能量大小,可以反映出此分量 波在整个衍射波中所占的比重 天津大学精仪学院 天津大学作 24

7  x1 x l  f x  A. 有限光学孔径将入射的光衍射到各个方向，每个方 向都可以看成一个平面波分量。这些平面波被透 镜汇聚在焦平面的能量大小，可以反映出此分量 波在整个衍射波中所占的比重。 2. 光学衍射的物理意义

B.焦平面上不同的点对应着不同平面波的传播方向,如 (x,y)点对应的平面波在x方向的空间频率为: x sin cosa 天津大学精仪学院 天津大学作 8 24

8 B. 焦平面上不同的点对应着不同平面波的传播方向，如 （x, y) 点对应的平面波在x 方向的空间频率为： l  l  l sin cos = = = f x u  x1 x l  f x 

因此,在夫朗合费衍射 E(u,v)=C JE(, y)exp[ - T(ux, +vy))dx,dy 中u,v恰好是平面光波在x,y方向的空间频率。这些 津面波各点权重与它们会聚在焦面上的光强成正比。 大学精仪学院 数学与物理:衍射屏与其夫朗和费衍射 在数学上: 在光学上: 仪行射屏函数可以分衍射屏的夫琅和费衍射,是将一个 解成无穷基频的和。有限光波衍射成无穷个方向传输的 平面光波。 天津大学作 9 24

9 因此，在夫朗合费衍射 中u，v恰好是平面光波在 x , y 方向的空间频率。这些 平面波各点权重与它们会聚在焦面上的光强成正比。    − = 1 1 − 1 + 1 1 1 E(u,v) C E(x , y )exp[ i2 (u x vy )]d x d y 数学与物理：衍射屏与其夫朗和费衍射 在数学上： 衍射屏函数可以分 解成无穷基频的和。 在光学上： 衍射屏的夫琅和费衍射，是将一个 有限光波衍射成无穷个方向传输的 平面光波

三、夫琅和费衍射的性质 1、衍射现象的扩散程度与孔径大小成反比 傅立叶变换性质:3[(ax) C 天津大学精仪学院 物理意义: 物函数坐标的收缩和展宽,使频谱函数坐标按同 比例展宽或收缩,同时频谱的振幅相应降低或增加 但频谱函数的形式不变。 光的限制越严重,衍射现象越显著 天津大学作 10 24

10 三、夫琅和费衍射的性质 1、衍射现象的扩散程度与孔径大小成反比          = a u F a f a x 1 傅立叶变换性质： ( ) 物理意义： 物函数坐标的收缩和展宽，使频谱函数坐标按同一 比例展宽或收缩，同时频谱的振幅相应降低或增加。 但频谱函数的形式不变。 光的限制越严重，衍射现象越显著