《材料化学》课程教学课件（讲稿）第一章 晶体学基础 1.2 晶体结构的对称性

上一页下一页回录出1.2.1对称性基本概念1.2.1对称性基本概念一、基本概念相对对应、相等，对称图形中的等同部分。对称相称适合、相当，等同部分的规则排列。无等同部分无规则排列对称图形1.对称图形经过一种以上（包括不动）不改变图形中任意两点间距离的操作能够复原的图形。复原：物体运动后每一点都与物体原始取向的等价点相重合

一、基本概念 对称 相对——对应、相等，对称图形中的等同部分。 相称——适合、相当，等同部分的规则排列。 无等同部分 无规则排列 对称图形 1.对称图形 经过一种以上（包括不动）不改变图形中任意两点间距离的操 作能够复原的图形。 复原：物体运动后每一点都与物体原始取向的等价点相重合。 1.2.1 对称性基本概念

上一页下一贝目录温出1.2.1对称性基本概念2.对称操作：不改变图形中任意两点间距离而能够使图形复原的操作。3.对称元素：等同操作对称操乍据！进行的几何元素（点、线、面等）。CC3C3C32C3=E4.等同操作：只是那些等同的部分互相交换而使图形复原的操作。恒等操作：使一个对称图形完全复原的操作，记作E。5.点操作：在进行操作时至少有一个点保持不动，对应一个有限图形。相应的对称元素称为宏观对称元素。空间操作：图形中所有点都移动的操作，对应一个无限图形。相应的对称元素称为微观对称元素

2.对称操作： 不改变图形中任意两点间距离而能够使图形复原的操作。 3.对称元素： 对称操作据以进行的几何元素（点、线、面等）。 4.等同操作：只是那些等同的部分互相交换而使图形复原的操作。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 C3 1 C3 1 C3 1 C3 2 C3 3 = E 5.点操作： 在进行操作时至少有一个点保持不动，对应一个有 限图形。相应的对称元素称为宏观对称元素。 空间操作：图形中所有点都移动的操作，对应一个无限图形。 相应的对称元素称为微观对称元素。 恒等操作：使一个对称图形完全复原的操作，记作E。 等同操作

上一页下一质回暴出1.2.1对称性基本概念二、点对称操作及相应的对称元素1.旋转(rotation)旋转轴(rotationaxisof symmetry)c,Cn熊夫利斯（Schoflies）记号，C可手写作CL(21)n(或n）——国际记号n基本对称操作：绕C.轴按逆时针方向转2元n能够得到等价图形而转动的最小角度(1）基转角（=2元n）—对应C,有C,,C,,.… C”=E例如:C：CI=E主轴CC2: C2, C? = E副轴C0=2元/3=120°C3: C3', C32, C.3 = E(2)阶次n由一一一个图形中轴次最高的轴为主轴，其他轴为副轴。(3)主轴和副轴

二、点对称操作及相应的对称元素 1.旋转(rotation)——旋转轴(rotation axis of symmetry) Cn Cn ——熊夫利斯（Schöflies）记号，Cn 可手写作 ( 2 ) n (或 n ) —— 国际记号 n L  (1) 基转角（ = 2/n）——能够得到等价图形而转动的最小角度 1 C n 2 C n , , . n C n = E 例如: C1 : C1 1 = E C2 : C2 1 , C2 2 = E C3 : C3 1 , C3 2 , C3 3 = E (2) 阶次 —— n (3) 主轴和副轴 —— 一个图形中轴次最高的轴为主轴，其他轴为副轴。  = 2/3=120° 对应Cn 有 基本对称操作：绕Cn轴按逆时针方向转2/n 主轴 C3 副轴 C2 C n ˆ

上一页下一页目录鸿出L对称性基本概念2.反演（倒反）（inversion）一对称中心(centreof symmetry)iiIi基本对称操作：每个点与连接对称中心的延长线的等距离处的点反演。C,H, H—CC—H例如：02HHC,H4HH(1)阶次，一一2；即i,i=E，因而可知E,n=偶数in =lil,n=奇数(2)图形特点一一当对称中心位于原点时，若x,J,z处有一点时，-x,-y,-z处必有一相应点

2.反演（倒反）(inversion)—— 对称中心(centre of symmetry) i i I i 例如：O2 C2 H2 H C C H C2 H4 C C H H H H (1) 阶次 —— 2；即i 1 , i2 = E, 因而可知 (2) 图形特点 —— 当对称中心位于原点时，若x, y, z 处有一点时， -x, -y, -z 处必有一相应点。 i n = E, n = 偶数 i 1 , n = 奇数 基本对称操作：每个点与连接对称中心的延长线的等距离处的点反演

上一页下一页目录退出1.2.1对称性基本概念3.反映（mirror)镜面（mirrorplane)4aaMm基本对称操作：每个点与镜面垂线的延长线的等距离处的点反映av例如：H,OBF3(1) 阶次，一一2；即gl,g2=E，因而可知E,n=偶数gn=lα,n=奇数0vav(2）根据与主轴的关系可分为：n垂直于主轴（h—horizontal)Oh通过主轴(v--vertical)av通过主轴且平分副轴夹角（d一dihedral)d

3.反映 (mirror) —— 镜面(mirror plane)   M m 例如：H2O BF3 (1) 阶次 —— 2；即1 , 2 = E, 因而可知 n = E, n = 偶数 1 , n = 奇数 (2) 根据与主轴的关系可分为： h v—— 通过主轴 (v——vertical) h—— 垂直于主轴 (h——horizontal) v  v v d—— 通过主轴且平分副轴夹角 (d——dihedral) C3 基本对称操作：每个点与镜面垂线的延长线的等距离处的点反映

上一页下一质回录出1对称性基本概念4.旋转倒反（rotationandinversion）一反轴(inversionaxis）InInIL(2元/n)n基本对称操作：绕I，轴转2元/n，#接着按中心点反演L(2元/4)L(2元/4)

4.旋转倒反 (rotation and inversion) —— 反轴(inversion axis) In In IL(2/n) n 1 2 3 4 3 4 2 1 1 2 3 4 L(2/4) I 1 2 3 4 L(2/4) I 基本对称操作：绕 In 轴转2/n，接着按中心点反演 I4

烟出不能用其他对称元素或其他对称元素的组合代替概念(1)阶次与独立性I:=icl=iC,1I2=iC2=E00阶次=2因为i,E→i，可知I=iOI'=i'C!=o12:I?=iC2=E阶次=2因为,E=→，可知=

不能用其他对称元素或其他对称元素的组合代替 (1)阶次与独立性 阶次= 2 因为 i 1 , E  i, 可知I1 = i I2 : I2 1 = i1C2 1 阶次= 2 因为 h 1 , E  h , 可知I2 = h I2 2 = i2C2 2 = E = h 1 i 1 h C2 1 I1 : I1 1 = i1C1 1 = i1 I1 2 = i2C1 2 = E

烟出上一页下一质目录121对称性其本概念极射赤平投影：将晶体结构的对称元素或晶体中原子的位置等三维的结构，投影到规定的赤道平面上，形成二维的图形。N上(北)半球下(南)半球?RR'0RS

N S P R' P' R 极射赤平投影: 将晶体结构的对称元素或晶体中原子的位置等三维的结构, 投影 到规定的赤道平面上, 形成二维的图形。 上(北)半球 下(南)半球 R' P

上一页下一页目录退出1.2.1对称性基本概念I3: I'=i'C3I?= i2Cg? = Cg?I3= iC3 =ilI,4= i4C34 = Cg阶次=6I5=iC5=iC32因为 C,C2, E →C3;i,E → i,I36= jC3 - E可知 I,= C, +i

I3 : I3 1 = i1C3 1 I3 2 = i2C3 2 I3 3 = i3C3 3 I3 4 = i4C3 4 I3 5 = i5C3 5 I3 6 = i6C3 6 = C3 2 = i1 = C3 1 = i1C3 2 = E 阶次= 6 因为 C3 1 , C3 2 , E  C3 ; i 1 , E  i, 可知 I3 = C3 + i

上一页下一质目暴退出1.2.1对称性基本概仓l=ic4I4:I2= i2C2 = C2I3=iC3 =iC3I4=i4C4=E阶次=4因为C2,E=C2，可知与I重合必有一个C2但无独立的i操作，故不存在对称中心、同样也不存在单独的C轴，即iC1和iiC.3不可以被其他对称元素或其他对称元素的组合代替，所以说I是独立的对称元素

I4 : I4 1 = i1C4 1 I4 2 = i2C4 2 I4 3 = i3C4 3 I4 4 = i4C4 4 = C2 1 = i1C4 3 = E 阶次= 4 因为 C2 1 , E  C2 , 可知与 I4 重合必有一个 C2。 但无独立的 i 1操作，故不存在对称中心 i, 同样也不存在单独的 C4轴，即i 1C4 1和 i 1C4 3不可以被其他对称元素或其他对称元素的 组合代替，所以说 I4 是独立的对称元素