天津大学管理学院：《管理科学基础》课程PPT教学课件（运筹学）第十三章 排队系统分析（13.2）到达与服务的规律

第二节到达与服务的规律 到达的规律 到达间隔(时间) 描述顾客到达规律可从两方面 到达数(人数) 现实中有许多服务系统,其顾客的到达具有下述特征: (1)无后效性:任一时段的到达数不受前一时段的影响; 2)平稳性:顾客到达是均匀的;(3)稀有性:瞬时内 只可能有1个顾客到达 称具有上述特征的输入为泊松流,其在t时段内到达n 个顾客的概率为 (it 即参数为At的泊松分布

第二节 到达与服务的规律 一.到达的规律 描述顾客到达规律可从两方面    到达数（人数） 到达间隔（时间） 现实中有许多服务系统，其顾客的到达具有下述特征： （1）无后效性：任一时段的到达数不受前一时段的影响； （2）平稳性：顾客到达是均匀的；（3）稀有性：瞬时内 只可能有1个顾客到达。 称具有上述特征的输入为泊松流，其在 t 时段内到达n 个顾客的概率为 , 0,1, ! ( ) ( ) = = − e n n t P t t n n   即参数为t 的泊松分布

由概率论知识可知,泊松分布的参数即其均值。因此,λ 的含义是单位时间到达系统的平均顾客数,即到达率 下面考察,当顾客按泊松流到达时,其到达的间隔时间 T是服从什么分布呢? 因为到达为泊松流,所以,(时段内没有来顾客的概率为 P0(t) (t) e三e 0! 所以,时段内有顾客到来(即间隔T≤t)的概率为 P(T≤t)=1-e,即F(t)=1-e 而这正是负指数分布的分布函数,说明T服从负指数分布,且 参数同为元

由概率论知识可知，泊松分布的参数即其均值。因此， 的含义是单位时间到达系统的平均顾客数，即到达率。  下面考察，当顾客按泊松流到达时，其到达的间隔时间 T 是服从什么分布呢？ 因为到达为泊松流，所以，t时段内没有来顾客的概率为 , 0! ( ) 0 0 t t e e t P t  − − = = ( ) 所以， t时段内有顾客到来（即间隔T  t ）的概率为 t t P T t e F t e − − (  ) =1− ，即 ( ) =1− 而这正是负指数分布的分布函数，说明T 服从负指数分布，且 参数同为 

可证反之也成立。于是得到关于到达规律的重要性质: 到达数为泊松流<→到达间隔服从负指数分布(同参数)。 由概率论知识可知,负指数分布的表达式(密度函数)为 (0)={a2≥0 0.t<0 参数λ即其均值的倒数。因此,的含义是平均间隔时间, 这与λ为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致

可证反之也成立。于是得到关于到达规律的重要性质： 到达数为泊松流 到达间隔服从负指数分布（同参数）。 由概率论知识可知，负指数分布的表达式（密度函数）为 参数 即其均值的倒数。因此， 的含义是平均间隔时间， 这与 为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。      = − 0, 0 , 0 ( ) t e t f t t T     1 

负指数分布有一个有趣的性质:无记忆性,即 P(T>to+17>10)=P(T>t) 直观上看,在已知T>t的条件下估计>t的概率,与无条件时估计T>t 的概率相同,把以前的t时间给忘了。 事实上, P(T >to+tT >to) P(T>to+t)∩(T>t0) P(T>to PT >to +t) e(o+o) P(T>t) P(T>to 假若T表示某种电子元件的寿命,则当元件已使用了t时间后估 计它还能再使用t时间的概率,与刚开始用时的概率一样。说明这种 元件是高度耐磨损的

负指数分布有一个有趣的性质：无记忆性，即 ( ) ( ) 0 0 P T  t + t T  t = P T  t 事实上， ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) 0 0 0 0 0 e P T t e e P T t P T t t P T t P T t t T t P T t t T t t t t t = = =    + =   +   +  = − − − +    0 0 ( ) 0 0 )  直观上看，在已知T>t0的条件下估计T>t的概率，与无条件时估计T>t 的概率相同，把以前的t0时间给忘了。 假若T表示某种电子元件的寿命，则当元件已使用了t0时间后估 计它还能再使用t 时间的概率，与刚开始用时的概率一样。说明这种 元件是高度耐磨损的

服务的规律 主要讨论服务时间ν服从负指数分布的情形,参数为1,即〓 pe,t≥0 f(t)= 0.t<0 由于ν的均值为一,即平均对每位顾客的服务时间为一,可得 参数/的含义:服务率,即单位时间平均服务完人 注:负指数分布的一般化—爱尔朗分布,可用于描述由k道程 序组成的1个服务台的服务时间的分布

二. 服务的规律 主要讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形，参数为  ，即      = − 0, 0 , 0 ( ) t e t f t t v   参数  的含义：服务率，即单位时间平均服务完  人。 由于v 的均值为 ，即平均对每位顾客的服务时间为 ，可得  1  1 注：负指数分布的一般化——爱尔朗分布，可用于描述由k 道程 序组成的1个服务台的服务时间的分布