《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第九章 拉普拉斯变换 9.1拉普拉斯变换的概念

第九章拉普拉斯变换(The Laplace transformation)

第九章 拉普拉斯变换 （The Laplace transformation）

第一讲89.1拉普拉斯变换的概念(TheconceptionoftheLaplace transformation)89.2拉普拉斯变换的性质(The propertyoftheLaplacetransformation)

§9.1 拉普拉斯变换的概念 (The conception of the Laplace transformation) §9.2 拉普拉斯变换的性质 (The property of the Laplace transformation) 第一讲

89.1拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的定义二、拉普拉斯变换存在定理

§9.1拉普拉斯变换的概念 一、拉普拉斯变换的定义 二、拉普拉斯变换存在定理

XaSongdaFourier变换的“局限性”？当函数f(t)满足Dirichlet条件，且在(一oo，+o)上绝对可积时，便可以进行古典意义下的Fourier变换。由于绝对可积是一个相当强的条件，使得一些简单函数（如常数函数、线性函数、正弦函数与余弦函数等等）的Fourier变换也受到限制。XuSough

1. Fourier变换的“局限性”？ 当函数 f (t) 满足Dirichlet条件，且在 (−, + ) 上绝对 可积时，便可以进行古典意义下的Fourier变换。 由于绝对可积是一个相当强的条件，使得一些简单函数 (如常数函数、线性函数、正弦函数与余弦函数等等)的 Fourier变换也受到限制

XaSoutglaFourier变换的“局限性”？。广义Fourier变换的引入，扩大了古典Fourier变换的适用范围，使得“缓增”函数也能进行Fourier变换，而且将周期函数的Fourier级数与Fourier变换统一起来。o广义Fourier变换对以指数级增长的函数如e"t（a>0)等仍然无能为力；而且在变换式中出现冲激函数，也使人XSo感到不太满意

1. Fourier变换的“局限性”？ 广义Fourier变换的引入，扩大了古典Fourier变换的适 用范围，使得“缓增” 函数也能进行Fourier变换，而且 将周期函数的Fourier级数与Fourier变换统一起来。 广义Fourier变换对以指数级增长的函数如 e at (a  0) 等 仍然无能为力；而且在变换式中出现冲激函数，也使人 感到不太满意

XaSonglaFourier变换的“局限性”？在工程实际问题中，许多以时间t为自变量的函数（比如起始时刻为零的因果信号等)在t<0时为零，而有些甚至XaSongh在t<0时根本没有意义。因此在对这些函数进行Fourier变换时，没有必要（或者不可能）在整个实轴上进行XeSoug

1. Fourier变换的“局限性”？ 在工程实际问题中，许多以时间t 为自变量的函数(比如 起始时刻为零的因果信号等)在t<0时为零，而有些甚至 在t <0时根本没有意义。 因此在对这些函数进行 Fourier 变换时，没有必要(或者 不可能)在整个实轴上进行

XaSongda4如何对Fourier变换进行改造？基本想法(1)将函数f(t)乘以一个单位阶跃函数u(t),使得函数在t0),使得函数在t>0的部分尽快地衰减下来。·这样，就有希望使得函数f(t)·u(t)·e-βt满足Fourier变换的条件，从而对它进行Fourier变换

基本想法 使得函数在t 0 的部分尽快地衰减下来。 (1) 将函数 f (t) 乘以一个单位阶跃函数 u(t) ， (2) 将函数再乘上一个衰减指数函数 e − t (  0) ， 这样，就有希望使得函数 满足Fourier t f t u t − ( ) ( )e 变换的条件，从而对它进行Fourier变换。 2. 如何对Fourier变换进行改造？

XaSongfa4如何对Fourier变换进行改造？实施结果(+~ f(t)u(t)e-βte-jotdtF[f(t)u(t)e-βt I =XaSongh= Jt f(t)e-(β+jo) dt将上式中的β+jの记为s，就得到了一种新的变换：记为[+ f(t)e-stdtF(s).注意上述广义积分存在的关键：变量s 的实部Res=β足够大

 + − − − = f t u t t t j t ( ) ( )e e d    + − + = 0 ( ) f (t)e d t  j t  + − 0 f (t)e d t st [ ( ) ( )e ] t f t u t − 将上式中的  + j 记为s，就得到了一种新的变换： F(s). 记为 变量 s 的实部 Re s =  足够大。 实施结果 2. 如何对Fourier变换进行改造？ 注意 上述广义积分存在的关键：

XeSonglas9.1.1Laplace变换的定义定义设函数f(t)是定义在(0,+)上的实值函数，如果对于P213复参数s=β+jの，积分F(s)=lf(t)e-stdt在复平面定义9.1s 的某一区域内收敛，则称F(s)为f(t)的Laplace变换或像函数，记为 F(s)=[f(t)]，即SF(s) = L[f(t)]= (t f(t)e-stdt相应地，称f(t)为F(s)的Laplace逆变换或像原函数记为 f(t)= L-l[F(s)l注f(t)的Laplace变换就是f(t)u(t)e-βt的Fourier变换。州

§9.1.1 Laplace 变换的定义 s 的某一区域内收敛， 即 如果对于 则称 F(s) 为 f (t) 的 Laplace 变换 相应地，称 f (t) 为 F(s) 的Laplace 逆变换或像原函数， 定义 设函数 f (t) 是定义在 (0, + ) 上的实值函数， 复参数 s =  + j ,  + − = 0 F(s) f (t)e d t 积分 st 在复平面 或像函数，记为 F(s) = [ f (t)], ( ) [ ( )] ( ) d . 0 e  + − F s = f t = f t t st 记为 f (t) = [ ( )]. 1 F s − 的Laplace变换就是 的Fourier变换。 t f t u t − 注 f (t) ( ) ( )e P213 定义 9.1

XaSongda+8(Re s > 0)例1.e-L[1]=dt?P213例9.1L[u(t)] = (+ u(t)e-st dt :(Re s> 0)?11.e-st(Re s > 0)L[sgnt] = ff° sgn te-st dt =-dt:要点进行积分时，确定s的取值范围，保证积分存在

 + − = 0 u(t)e dt st , 1 s = (Re s  0)  + − =  0 1 e dt st + − − = 0 e 1 st s , 1 s = (Re s  0)  + − =  0 1 e dt st , (Re s  0) 1 s =  + − = 0 sgn t e dt st  + − =  0 1 e dt st 例 [1] [u(t)] [sgnt] 要点 进行积分时，确定s的取值范围，保证积分存在。 P213 例 9.1