《复变函数与积分变换》课程教学资源（试卷习题）试卷一（题目）

《复变函数与积分变换》试卷一满分：100分考试时间：120分钟二三题号四 六五总分一、判断题（正确打“/”，错误打“×”，每题2分，共20分）1、2Rez,z2= z,=2 +z1z2;2、设z=x+iy,则argz=arctan+元(x<0,y为任意实数)；（3、解析函数的实部和虚部都是调和函数；（）154、（)dz=0;J==1 _2 + 45、幂级数的和函数在其收敛圆的内部不能逐项求导；（16、≥=k元+是()=的五阶极点；()2COS27、若z是函数f()的孤立奇点，则Rez[f()==C-；（）8、在扩充复平面上，分式线性映射把圆映射成圆；（9、f's(t)dt=l;（)10、单位阶跃函数u()的拉普拉斯变换为！.S二、填空题（每空2分，共20分）1、复数/3+i的辐角主值为2、In（-3+4i）的值为

《复变函数与积分变换》 试卷一 满分：100 分 考试时间：120 分钟 题号 一 二 三 四 五 六 总分 一、判断题（正确打“√”，错误打“×”,每题 2 分，共 20 分） 1、 2 2 1 1 2 2Re 1 z z = z z + z z ； （ ） 2 、 设 则 (x y为任意实数) x y z = x + iy, arg z = arctan +   0, ；（ ） 3、 解析函数的实部和虚部都是调和函数； （ ） 4、  = = 1 + 2 0 4 1 z dz z ； （ ） 5、幂级数的和函数在其收敛圆的内部不能逐项求导；（ ） 6、 2  z = k + 是 ( ) z f z cos 1 = 的五阶极点； （ ） 7、若 0 z 是函数 f (z) 的孤立奇点，则  ( )  0 1 Re , = C− z f z z ；（ ） 8、在扩充复平面上，分式线性映射把圆映射成圆；（ ） 9、 ( ) 1 t  t dt − =  ；（ ） 10、单位阶跃函数 u(t) 的拉普拉斯变换为 s 1 . （ ） 二、填空题（每空 2 分，共 20 分） 1、复数 3 + i 的辐角主值为 ； 2、ln (− 3 + 4 i ) 的值为 ；

3、若f()=u(xy)+iv(xy)为解析函数，则是(x)的共轭调和函数；e4、积分dz的值为J==2 -2 25、幂级数！"的收敛半径为=in?sin=在z=0的留数为6、函数 ()=22i7、实轴在映射w=下的像曲线:2+i8、设F(o)=[r()]t为是实常数，则[f(t-t)]=9、用Matlab求f'()的命令为10、用Matlab的基本二维绘图命令为三、求解下列各题（每题6分，共30分）e21、利用留数计算积分dzJ==2 (= - 1)12、将F(=)=在20)在映射w=z2下的象；5、用拉式变换求解微分方程y"(t)+4y(t)=0, y(0)=0, y'(0)=2四、证明下列各题（3分+5分，共8分）

3、若 f (z)= u(x, y)+iv(x, y) 为解析函数，则 是 v(x, y) 的共轭调和函 数； 4、积分 | |=2 − 2 z z dz z z e 的值为 ； 5、幂级数   =1 2 1 n n z n 的收敛半径为 ； 6、函数 ( ) z z f z sin = 在 z = 0 的留数为 ； 7、实轴在映射 z i i w + = 2 下的像曲线 ； 8、设 F() = ℱ  ( ) 0 f t ,t 为是实常数，则 ℱ   f t t ( − = 0 )   ； 9、用 Matlab 求 f (z) 的命令为 ； 10、用 Matlab 的基本二维绘图命令为 . 三 、求解下列各题（每题 6 分，共 30 分） 1、利用留数计算积分 dz z e z z  =2 − 2 2 ( 1) ； 2、将 ( ) ( )( 3) 1 − − = z z f z 2 在 2  z  3 内展成洛朗级数； 3、计算函数 ( 2) ( 5) 1 ( ) 2 − + = z z z f z 在各孤立奇点处的留数； 4、求上半单位圆域 {z :| z | 1, Im z  0} 在映射 2 w = z 下的象； 5、用拉式变换求解微分方程 y (t) + 4y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = 2. 四、证明下列各题（3 分+5 分，共 8 分）

1、证明函数f(-)=在点z=0可导，且导数等于0；（3分）2、验证u(x,y)=x2-y?+2xy是=平面上的调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(=)=u(x,y)+iv(x,y)，使f(i)=-1+2i.（5分）五、求下列函数的积分变换（每题5分，共10分）1、求函数f()=sin2t的傅氏变换；2、求函数f(t)=cost的拉氏变换六、实验题（每题3分，共12分）在≥=0的极限的Matlab源程序；1、写出f(=)=sinz2、写出求函数『(-)=三+2=+1！在孤立奇点处留数的Matlab源程序；z +13、写出函数f()=e-cost，g()=e-sint的Fourier变换的Matlab源程序；s?-024、写出函数F(s)=的Laplace逆变换的Matlab源程序(52 +02)

1、证明函数 2 f (z) = z 在点 z = 0 可导，且导数等于 0 ；（3 分） 2、验证 u(x, y) x y 2xy 2 2 = − + 是 z 平面上的调和函数，并求以 u(x, y) 为实部的解析函数 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y) ，使 f (i) = −1+ 2i . （5 分） 五、求下列函数的积分变换（每题 5 分，共 10 分） 1、求函数 f (t) = sin 2t 的傅氏变换； 2、求函数 f (t) = cost 的拉氏变换. 六、实验题（每题 3 分，共 12 分） 1、写出 z z e f z z sin ( ) 2 = 在 z = 0 的极限的 Matlab 源程序； 2、写出求函数 ( ) 1 2 1 2 + + + = z z z f z 在孤立奇点处留数的 Matlab 源程序； 3、写出函数 f (t) e t g(t) e t t t cos , sin 2 2 − − = = 的 Fourier 变换的 Matlab 源程序； 4、写出函数 ( ) ( ) 2 2 2 2 2   + − = s s F s 的 Laplace 逆变换的 Matlab 源程序