《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第四章 解析函数的级数表示

第四章解析函数的级数表示(Therepresentationof powerseriesof analyticfunction)84.1复数项级数84.2复变函数项级数84.3泰勒(Taylor)级数84.4洛朗(Laurent)级数

第四章 解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function) §4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 §4.3 泰勒（Taylor）级数 §4.4 洛朗(Laurent)级数

第一讲84.1复数项级数84.2复变函数项级数

第一讲 §4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数

84.1复数项级数Seriesofcomplexnumber复数序列的极限复数项级数二

§4.1 复数项级数 一、复数序列的极限 二、复数项级数 (Series of complex number）

一、复数序列的极限设{z} (n=1,2,)为一复数列,其中zn=x,+iyn，又设zo=xo+iy,为一确定的复数如果对于任意给定>0,总存在正整数V()当n>N时,有zn-zo<8.那末z称为复数列z当n→o时的极限记作lim zn = Zo ·n-o0此时也称复数列z收敛于zo

一、复数序列的极限 那 末z 称为复数列{z }当n → 时的极限, 0 n 记作 lim . 0 z z n n = → { } . 0 z z 此时也称复数列 n 收敛于 设{z } (n =1,2, )为一复数列 ,其中 n , n n n z = x + iy y , 又设z0 = x0 + i 0 为一确定的复数 . , ( ),     −   0 0 n N z z N 当 时，有 n 如果对于任意给定 总存在正整数

定理4.1设复数列α,=a,+ib,,α=a+ib,则limα，=α的充分必要条件是n→00limb. = b.lima,= a,n→00n→>00证明如果limα,=α,那末对于任意给定ε>0n->00就能找到一个正数N,当n>N时。(an+ibn)-(a +ib)00

就能找到一个正数N, 从而有 lima a. n n = 所以 → limb b. n n = 同理 →   的充分必要条件是 设复数列 则     = = + = + → n n n an bn a b lim 定理4.1 i , i , 证明 那末对于任意给定   0

lim b. = b,lim a, = a,反之，如果nn>00n>008Y那末当n>N时,la,-a00

反之, 如果 lim a a, lim b b, n n n n = = → → 从而有 [证毕]

二、复数项级数设(α,)是一复数列，则Za, α, +a, a, ..(4.1)n=1称为复数项级数Sn=αi+α,+...+α称为级数的部分和若(sn(n=1,2,...,)以有限复数s为极限lim s, = s(± o0)即n>00

称为复数项级数. 称为级数的部分和. 若{sn }(n=1,2,.,)以有限复数s为极限, 二、复数项级数 即 设n 是一复数列，则

则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4. 1)的和,写成S-Zαnn=1否则称级数(4.1)为发散X例1级数z"n=01n-1解:s,=1+z+z+.(z +1),1- z11-z"由于当z<1时,lim s,=lim1-z1- z n00n81所以当z<1时级数收敛.且和为1-z

则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为 (4.1)的和,写成 否则称级数(4.1)为发散.   =0 1 n n 例 级数 z ( 1), 1 1  − − = z z z n z z s n n n n − − = → → 1 1 lim lim , 1 1 − z =   = = n 1 S  n

定理4.2复级数8Zα,=α,+α, +α,.. 其中α,=a,+ib,n=l收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:OrZa,=aZb,=bn=ln=l

定理4.2 复级数 收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为: a a b b n n n  n =  =  =  =1 1 n n n n n n  = + + + + = a + i b  =  1 2    其 中 1

例2判断下列级数敛散性iI(+)(2)M(+).1nnn=hn=l hZan-Z因为发散;解(1)n=inn=1808012b,-2收敛.所以Z=(1+→)发散.国nnnn=1n=11Za,=2.因为收敛;(2)hn=-1n=181Eb,-Z收敛。所以原级数收敛nn=1=

解（1） （2）