《工程数学（线性代数）》课程教学资源（PPT课件）第5章 线性空间与线性变换

第5章线性空间与线性变换05线性空间与线性变换《线性代数》

第5章 线性空间与线性变换 1 线性空间与线性变换 《线性代数》 05

目录/Contents?兰5.1线性空间的定义与性质5.2维数、基与坐标5.3线性变换

第5章 线性空间与线性变换 2 目录/Contents 5.1 5.2 5.3 维数、基与坐标 线性变换 线性空间的定义与性质

目录/Contents?兰5.1线性空间的定义与性质一、线性空间的定义二、线性空间的性质三、线性空间的子空间

第5章 线性空间与线性变换 3 目录/Contents 5.1 线性空间的定义与性质 一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的子空间

、线性空间的定义第5章线性空间与线性变换定义1设V是一个非空集合，R为实数域对于任意两个元素α.βEV，在V中总有唯一确定的一个元素与之对应，称为α与β的和，记作=α+β对于R中任一数2与V中任一元素α，在V中总有唯一确定的一个元素与之对应，称为入与α的数量乘积，记作S=Λα.如果这两种运算满足以下八条运算规律（设α,EV,uER）

第5章 线性空间与线性变换 4 对于任意两个元素  , V ， 称为  与  的数量乘积， 如果这两种运算满足以下八条运算规律(设      , , ; ,   V R ): 定 义 1 称为  与  的和， 在 V 中总有唯一确定 的一个元素  与之对应， 记作    = + . 一元素  ，在 V 中总有唯一确定的一个元素  与之对应，   = . 记作 设 V 是一个非空集合， R 为实数域. 对于 R 中任一数  与 V 中任 一、线性空间的定义

、线性空间的定义第5章线性空间与线性变换5(i)加法交换律：α+β=β+α(i)加法结合律：(α+β)+=α+(β+)(ii)在V中存在零元素0;对于任何α eV，都有是α+0=α;(iv)负元素:对于任何αeV,都有是 α的负元素 βV,使α+β=0;(v) lα = α,(vi) (uα)=(aμ)a,(vi) (+ μ)α= α+μ,(vii) (α+β)= α+β

第5章 线性空间与线性变换 5 (v) 1 ;   = (vi)    (   ) = ( ) ; (vii) (    + = + )  ; (viii)    (    + = + ) . (i) 加法交换律：     + = + ; (ii) 加法结合律： (      + + = + + ) ( ); (iii) 在 V 中存在零元素 0；对于任何  V ，都有是   + = 0 ； (iv) 负元素：对于任何  V ，都有是  的负元素  V ，使   + = 0; 一、线性空间的定义

>》》一、线性空间的定义6第5章线性空间与线性变换那么，V就称为实数域R上的线性空间线性空间有时也被称为向量空间，线性空间中的元素不论其本来的性质如何，统称为向量，线性空间中满足上述八条规律的加法及数乘运算，统称为线性运算例1次数不超过n的多项式的全体，记作Px，即P[], - (p(x)-a,"..+ax+ao.,.,apa e r)对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，故只要验证Px对运算封闭

第5章 线性空间与线性变换 6 线性空间有时也被称为向量空间， 例 1 次数不超过 n 的多项式的全体，记作     ， n P x     = = + + +   ( ) 1 0 1 0 , , , ,  n n n n P x p x a x a x a a a a 这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律， 线性空间中的元素不论其本来的性质如何，统称为向 量. 线性空间中满足上述八条规律的加法及数乘运算，统称为线性运算. 即 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.     n 故只要验证 P x 对运算封闭. 那么， V 就称为实数域 R 上的线性空间. 一、线性空间的定义

一、线性空间的定义第5章线性空间与线性变换对P[x中任意两个多项式p(x)=ax"+...+a,x+a。q(x)=b,x"++bx+b。，及任意的实数，有p(x)+q(x)=(a,"+.+ax+a)+(b,x" +.+bx +b.) =(a. +b,)" +..+(a, +b.)x +(ao+b.)eP[x].ap(x)= a(a,x" +.+ax +a.)= (aa, )x" +.+(a,)x +(aa)eP[x].所以 Px是一个线性空间

第5章 线性空间与线性变换 7 ( ) + = + + + + + + + ( ) ( 1 0 1 0 ) ( ) n n n n p x q x a x a x a b x b x b   ( ) = + + + ( 1 0 ) n n p x a x a x a 对 中任意两个多项式 ， ，及 任意的实数 ，有    n P x ( ) = + + + 1 0 n n p x a x a x a ( ) = + + + 1 0 n n q x b x b x b  所以 是一个线性空间.     n P x ( ) ( ) ( ) = + + + + + +    1 1 0 0   , n n n n a b x a b x a b P x (   ) ( ) ( ) = + + +    1 0   , n n n a x a x a P x 一、线性空间的定义

、线性空间的定义0第5章线性空间与线性变换例2设集合C[a,b]=((x)f(x)为[a,b]上的连续函数是定义在区间[a]上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函数的乘法构成线性空间这是因为：通常的函数加法及乘数运算显然满足线性运算规律，并且根据连续函数的运算性质可知，C[a,b]对通常的函数加法和数乘函数的乘法封闭

第5章 线性空间与线性变换 8 设集合 C a b f x f x a  , ,b  = ( ) ( )为 上的连续函数 是定义在区间a b, 上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函 数的乘法构成线性空间. 这是因为：通常的函数加法及乘数运算显然满足线性运算规律，并且根据连续函数的 运算性质可知， C a b  , 对通常的函数加法和数乘函数的乘法封闭. 一、线性空间的定义 例2

一、线性空间的定义第5章线性空间与线性变换8例3aunaia12...a2ia22azn设Mm(R)=A=ay(I≤i≤m,l≤j<n)eR：..amnamlam2是实数域上的矩阵全体所成的集合显然Mmx（R）是非空的，Mmx（R）对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间，这是因为：通常的矩阵加法和数乘运算显然满足线性运算规律，并且Mmx（R）对通常的矩阵加法和数乘运算封闭

第5章 线性空间与线性变换 9 例 3 是实数域上的矩阵全体所成的集合. 设 ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 1 ;1 n n m n ij m m mn a a a a a a M a i m j n a a a          = =              R R A 加法和数乘构成线性空间. 显然 M m n (R) 是非空的， M m n (R) 对通常的矩阵 这是因为：通常的矩阵加法和数乘运算显然满足线性运算规 律，并且 ( ) 对通常的矩阵加法和数乘运算封闭. M m n R 一、线性空间的定义

一、线性空间的定义10第5章线性空间与线性变换特别地，当m=n时，n阶方阵的全体所成的集合anaj2ayn...a21a22danM(R)=Aj≤n)eR也是实数域上的线性空间..::ana.am2

第5章 线性空间与线性变换 10 ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 1 , n n n ij n m nn a a a a a a M a i j n a a a         = =            R R A 也是实数域上的线性空间. 特别地，当 m n = 时， n 阶方阵的全体所成的集合 一、线性空间的定义