《工程数学（线性代数）》课程教学资源（PPT课件）第3章 向量空间与线性方程组解的结构

第3章向量空间与线性方程组解的结构03向量空间与线性方程组解的结构《线性代数》

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 1 向量空间与线性方程组解的结构 《线性代数》 03

目录/Contents?E3.1向量组及其线性组合3.2向量组的线性相关性3.3向量组的秩与矩阵的秩3.4线性方程组解的结构3.5向量空间

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 2 目录/Contents 3.1 3.2 3.3 3.4 向量组的线性相关性 向量组的秩与矩阵的秩 线性方程组解的结构 3.5 向量空间 向量组及其线性组合

目录/Contents?兰3.1向量组及其线性组合一、向量的概念及运算二、向量组及其线性组合三、向量组的等价

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 3 目录/Contents 3.1 向量组及其线性组合 一、向量的概念及运算 二、向量组及其线性组合 三、向量组的等价

一、向量的概念及运算第3章向量空间与线性方程组解的结构1.n维向量的概念定义1由n个数aa",a,组成的有序数组称为n维向量若n维向量写成的形式，称为n维列向量；若n维向量写成a,az,",a的形式，称为n维行向量这n个数称为该向量的n个分量，其中α,称为第i个分量我们常用α,β,...来表示n维列向量，而用α,βT,..来表示n维行向量

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 4 由 n 个数 1 2 , , , n a a a 组成的有序数组称为 n 维向量. 若 n 维向量写成 1 2 n a a a             的形式，称为 n 维列向量； 若 n 维向量写成 1 2 , , , n a a a 的形式，称为 n 维行向量. 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，其中 i a 称为第i 个分量. 我们常用   , , ,.来表示 n 维列向量，而用 T T T    , , ,.来表示n 维行向量. 1. n 维向量的概念 一、向量的概念及运算 定义1

一、向量的概念及运算第3章向量空间与线性方程组解的结构S当a,a,a是复数时，n维向量称为n维复向量当a,a2a,是实数时，n维向量称为n维实向量.今后我们所讨论的向量都是实向量0分量都是零的向量称为零向量，记为0，即0-或0=(0,0,..,0)0向量称为向量的负向量，记为一α，-a

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 5 分量都是零的向量称为零向量，记为0 ， 即 0 0 0             0 = 或0 = (0,0, ,0). 向量 1 2 n a a a   −   −         − 称为向量 1 2 n a a a       =        的负向量，记为− . 当 1 2 , , , n a a a 是复数时， n 维向量称为 n 维复向量， 当 1 2 , , , n a a a 是实数时， n 维向量称为 n 维实向量. 今后我们所讨论的向量都是实向量. 一、向量的概念及运算

、向量的概念及运算第3章向量空间与线性方程组解的结构62.向量的运算9b,a8a设keR则有b.a.这两种运算称为(ka)(a,+b)向量的线性运算ka,a,+b(2)ka=(1) α+β=：kaa,+bu(b)aba,b,a,b,+ab,a,ba,b,a,b(3)αβ=(a,a,",a.)=ab,+a,b,+..+a.b.;ap!(b,b,"*,b.)***+(b.(abab..aba)0

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 6 2. 向量的运算 设 1 1 2 2 , n n a b a b a b             = =               ，k R ，则有 （1） 1 1 2 2 n n a b a b a b   +   +   + =       +   ； （2） 1 2 n ka ka k ka       =        ； 这两种运算称为 向量的线性运算 （3） ( ) 1 T 2 1 2 1 1 2 2 , , , n n n n b b a a a a b a b a b b       = = + + +         ； ( ) 1 1 1 1 2 1 T 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 , , , n n n n n n n n a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b             = =              . 一、向量的概念及运算

一、向量的概念及运算第3章向量空间与线性方程组解的结构例1设有线性方程组a+ax+.+anx,=bax+a2x+..+anx=bamx,+amx,+.+ammx,=ba(i=12,."",n将第1个未知量x的系数写成一个m维列向量α,=a常数写成一个m维列向量β=则该方程组也可用向量的形式来表达：xa+xa,+...+xa,=β

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 7 设有线性方程组 将第i 个未知量 i x 的系数写成一个m维列向量 常数写成一个 m 维列向量 1 2 m b b b       =        ， 则该方程组也可用向量的形式来表达： 1 1 2 2 . n n x x x     + + + = 一、向量的概念及运算 ( ) 1 2 1,2, , i i i mi a a i n a       = =        ， 例1 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + =

二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构8定义2由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组例如，例1中未知量的系数构成的m维列向量Oon（i=12.:.n）的全体构成一个向量组α, =...ami

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 8 例如，例 1 中未知量的系数构成的m 维列向量 二、向量组及其线性组合 ( ) 1 2 1,2, , i i i mi a a i n a       = =        的全体构成一个向量组. 定义 2 由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组

二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构Oauai2dy.a21a22an例2设矩阵A对矩阵A分块如下：:目+**(amlam2.amnRRa12airau..dnlam2an=(,a2,",.)=A=BTamlaam2au)on)(j=1,2,.,n), T =(an,a2,-am)(i=1,2,.,m)其中α=:aml

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 9 设矩阵 对矩阵 A 分块如下： ( ) T 11 12 1 1 T 21 22 2 2 1 2 T 1 2 , , , n n n m m mn m a a a a a a a a a             = = =               A       ， 其中 ( ) 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a       = =          ， ( )( ) T 1 2 , , , 1,2, , i i i in  = = a a a i m . 二、向量组及其线性组合 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a       =       A 例 ， 2

二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构10则m维向量组α.α.α称为矩阵A的列向量组n维向量组p.BB称为矩阵A的行向量组反之，给定一个m维向量组αα,α则得到一个以αα,α为列的mxn矩阵A=(ααα.）给定一个n维向量组.则得到一个以T.,β为行的mXxn矩阵A因此，一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一对应关系一

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 10 反之，给定一个m 维向量组 1 2 , , ,   n， 则得到一个以 1 2 , , ,   n 为列的m n 矩阵A= (   1 2 , , , n ) ； 给定一个 n 维向量组 T T T 1 2 , , ,    m， 则得到一个以 T T T 1 2 , , ,    m 为行的m n 矩阵 T 1 T 2 T m       =         A    . 因此，一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一一对应关系. 则 m 维向量组 1 2 , , ,   n 称为矩阵 A 的列向量组， n 维向量组 T T T 1 2 , , ,    m 称为矩阵 A 的行向量组. 二、向量组及其线性组合