《工程数学（概率论与数理统计）》课程教学资源（PPT课件）第12章 参数估计

第7章参数估计707参数估计《概率论与数理统计》

第7章 参数估计 1 参数估计 《概率论与数理统计》 07

目录/Contents?山E1.1点估计1.2点估计的优良性评判标准1.3置信区间1.4单正态总体下未知参数的置信区间1.5两个正态总体下未知参数的置信区间

第7章 参数估计 2 目录/Contents 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 点估计 点估计的优良性评判标准 置信区间 单正态总体下未知参数的置信区间 两个正态总体下未知参数的置信区间

目录/Contents?山1.1点估计一、矩估计二、极大似然估计设总体X～f（x;),为总体分布中的未知参数（X,,X，）是取自总体的一个样本用样本来构造的估计，称(X,X2,,X）为的一个点估计，记作é=(X,…,X,）两个常用方法：矩估计法和极大似然估计法：所求出的估计量则分别称为矩估计量和极大似然估计量

第7章 参数估计 3 目录/Contents 7.1 点估计 一、矩估计 二、极大似然估计 设总体 X f x ~ ; ( θ),θ 为总体分布中的未知参数, ( ) 是取自总体的一个样本, 1 , , X X n 用样本来构造 θ 的估计, 称  ˆ ( X X X 1 2 , , , n ) 为 θ 的一个点估计, 记作 ( 1 ) ˆ ˆ θ , , . = X X n 两个常用方法: 矩估计法和极大似然估计法. 所求出的估计量则分别称为矩估计量和极 大似然估计量

一、 矩估计第7章参数估计4用样本的k阶原点矩替代总体的k阶原点矩，这样得到的未知参数0的估计量称为的矩估计量A总体的k阶原点矩=E（X）B样本的k阶原点矩4=-之x77

第7章 参数估计 4 用样本的 k 阶原点矩替代总体的 k 阶原点矩, 这样得到 称为 的矩估计量. θ θ 一、矩估计 总体的 阶原点矩 ( ) k k k = E X 样本的 阶原点矩 1 1 n k k i i A X n = k =  A B 的未知参数 的估计量

一、矩估计5第7章参数估计例1设(X.…,X）是取自总体x的一个样本.在下列两种情形下，试求总体参数的矩估计量01总体×~B(p),其中 p 未知,00.OPTION

第7章 参数估计 5 设( ) 1 , , X X n 是取自总体X 的一个样本.在下列两种情形下，试求总体参数的矩 估计量. 一、矩估计 总体 X B p ~ 1, , ( ) 其中 p 未知, 0 1;   p 总体 X E ~ , () 其中  未知,  0. 例1 01 OPTION 02 OPTION

一、矩估计6第7章参数估计解(1）从随机变量数字特征的结论，易知0-1分布的随机变量期望E(X=p，即未知参数P可表示称为总体一阶矩的函数p=E（X），用样本一阶矩替换总体一阶矩，可得P的矩估计量为p-X11即入(2) E(X所以元的矩估计量为元1XE(X2

第 7 章 参数估计 6 (1) 从随机变量数字特征的结论，易知 0-1 分布的随机变量期望 E X p ( ) = ，即未知 参数 p 可表示称为总体一阶矩的函数 p E X = ( )，用样本一阶矩替换总体一阶矩，可 得 p 的矩估计量为 p X ˆ= . (2) ( ) 1 E X  = ，即 ( ) 1 E X  = ，所以  的矩估计量为 1X  = . 一、矩估计 解

一、 矩估计第7章参数估计7设总体X～P(a），其中>0未知，（X,X",X）为取自该总体的一个样本例21P(X =0) 的矩估计量.试求:的矩估计量;因为E(X)=，故的矩估计量可定义为=解(1)又D(X)==E(X)-(EX)，故的矩估计量又可写为=-x-?ni=l这说明矩估计可能不唯一，通常尽量采用较低阶的矩给出未知参数的估计120所以: P(X = 0)= e-X-E(X)解(2) 因 P(X =0)=O!

第7章 参数估计 7 为取自该总体的一个样本.  的矩估计量; P X( = 0) 的矩估计量. 解⑴ 因为 E X( ) =  , 故  的矩估计量可定义为 ˆ  = X. 例2 设总体 X P ~ () , 其中   0 未知, ( X X X 1 2 , , , n ) 又 2 2 D X E X EX ( ) ( ) ( ) = = −  ，故  的矩估计量又可写为 2 1 1 2 ˆ X X n n i  i =  = − . 一、矩估计 试求: 1 2 这说明矩估计可能不唯一，通常尽量采用较低阶的矩给出未知参数的估计. 解⑵ 因 ( ) ( ) 0 0 e e e 0 ! E X P X − −    − = = = = 所以: ( ) ˆ 0 e . X P X − = =

一、矩估计8第7章参数估计例3设总体X服从正态分布N（u,"），（X,XX）是取自总体X的一个样本，（1）求μ的矩估计量（2）已知α2未知，求α2的矩估计量；（3)U和都未知，求α2的矩估计量

第7章 参数估计 8 （2）  已知， 未知，求 的矩估计量； 2  2  设总体 X 服从正态分布 ( ) 2 N  , ， ( X X X 1 2 , , , n )是取自总体 X 的一个样本， 一、矩估计 （1）求  的矩估计量； （3）  和 都未知，求 的矩估计量. 2  2  例3

一、矩估计9第7章参数估计解(1）=E(X)，故的矩估计量=;(2) 2=D(X)=E(x2)-E2(X), 又因为 μ=E(X)已知，故62=x-μ?n i=l未知，故(3)因为 μ=E(X)x? -(X) =(X,-X) =Ss2

第7章 参数估计 9 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (2)  = = − D X E X E X , 又因为  = E X( ) 已知， (3) 因为  = E X( ) 未知，故 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ˆ . n n i i n i i X X X X S n n  = = = − = − =   一、矩估计 (1)  = E(X ) , 故  的矩估计量 ˆ = X ； 解 故 2 2 2 1 1 ˆ n i i X n   = = − 

一、矩估计10第7章参数估计关于矩估计量有下列结论设总体X的均值E(X)=μ,方差D(X)=α2，(X,X2,",X,)定理为取自该总体的一个样本则X是U的矩估计量,S，是2的矩估计量,S,是O的矩估计量

第7章 参数估计 10 定理 设总体 X 的均值 E X( ) =  , 方差 ( ) ， 2 D X = ( X X X 1 2 , , , n ) 为取自该总体的一个样本, 则 X 是  的矩估计量, 是 的矩估计量, 是 的矩估计量. 2 n S 2  n S  关于矩估计量有下列结论: 一、矩估计