《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 函数、极限与连续 1.5无穷大与无穷小

1.5无穷小量与无穷大量没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概念能像无穷那样需要加于阐明一一大卫·希尔伯特

1.5 无穷小量与无穷大量 没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人 的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智 产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概 念能像无穷那样需要加于阐明. ——大卫·希尔伯特

邓附亚萍败光20亿堪称史上最无脑败家女继在互联网赛场上一败涂地，导致即刻搜索关门大吉负债累累之后，近日，头顶无数光环和争议的邓亚萍以校园公益形象大使的身份重新出现在公众的视野里。会打球亚不等于懂做生意！这个世界已经不是靠一腔热血一股冲劲就能成功的世界了

邓亚萍败光20亿 堪称史上最无脑败家女 继在互联网赛场上一败涂地，导致即刻搜索 关门大吉负债累累之后，近日，头顶无数光环和 争议的邓亚萍以校园公益形象大使的身份重新出 现在公众的视野里。会打球並不等于懂做生意！ 这个世界已经不是靠一腔热血一股冲劲就能成功 的世界了

她是从神坛跌落地狱的邓亚萍。笃信”人生没有捷径，只有靠自己去拼”的她以“国家使命为己任，在花掉20亿后最终没有成为她梦想中的中国乔布斯，而是沦落到阿Q般的精神世界里一自以为精神便可战胜一切，但却在最后丢失了自我。"不懂市场”、“败光20亿”、“跑路".一夜之间，拥有18次世界冠军、剑桥博士和申奥大使等无数光环的邓亚萍，被疯狂的吐糟睡骂，可恨又可怜，人傻钱多，傻劲儿值得鼓励，但要吃一堑长一智才行，百度谷歌做搜索你也做搜索能不亏吗？

她是从神坛跌落地狱的邓亚萍。笃信“人生 没有捷径，只有靠自己去拼”的她以“国家使命” 为己任，在花掉20亿后最终没有成为她梦想中的 中国乔布斯，而是沦落到阿Q般的精神世界里— —自以为精神便可战胜一切，但却在最后丢失了 自我。“不懂市场”、“败光20亿”、“跑 路”.一夜之间，拥有18次世界冠军、剑桥博 士和申奥大使等无数光环的邓亚萍，被疯狂的吐 糟唾骂，可恨又可怜。 人傻钱多，傻劲儿值得鼓励，但要吃一堑长 一智才行，百度谷歌做搜索你也做搜索能不亏吗？

数学是改变世界的力量一以乔布斯谷歌为例

数学是改变世界的力量 ——以乔布斯、谷歌为例

无穷小的概念定义极限为零的变量称为无穷小注意：E0E无穷小是变量，不能与很小的数混淆零是可以作为无穷小的唯一常数无穷小是相对于自变量的某个变化过程而言的

无穷小的概念 定义 极限为零的变量称为无穷小. 注意: (1) 无穷小是变量，不能与很小的数混淆. (2) 零是可以作为无穷小的唯一常数. (3) 无穷小是相对于自变量的某个变化过程 而言的

无穷小与函数极限的关系定理5.1lim f(x)= A的充要条件是f(x)=A+ α.其中, limα=0

无穷小与函数极限的关系 lim ( ) ( )= . , l 5. im =0 1 . f x A f x A   = + 的充要条件是 其中 定理

无穷小的运算性质定理5.2无穷小的和是无穷小无穷小的乘积是无穷小定理5.3无穷小与有界量的乘积是无穷小。推论无穷小与常数的乘积是无穷小

无穷小的运算性质 5.2 无穷小的和是无穷小, 无穷小的乘 定理 积是无穷小。 定理5.3 无穷小与有界量的乘积是无穷小。 推论 无穷小与常数的乘积是无穷小

无穷小量的比较定义5.2设 α,β是自变量变化的同一过程中的两个无穷小量，且α≠0.B(1）如果limα=0,则称β是α的高阶无穷小量工记作 β=o(α),也称α是β的低阶无穷小量B（2）如果limα=C0,则称 β是α 的同阶无穷小量B记作 β=O(α).特别地，若lim=1,则称 β是 α的等价无穷小量，记作β～α.β_=C ±0,则称 β是 α 的 k阶无穷小量如果lim(3) P其中k是正实数

无穷小量的比较 , 0 5.2 .     设 是自变量变化的同一过程中的两个 无穷小量，且 定义 (3) lim 0, . . k =C k k     如果  则称 是 的 阶无穷小量 其中 是正实数

例 x2 =o(x) (x→0),sinx ~x (x -→ 0),x2 =0(x) (x→0),-cosx~2ex-1~x (x→0),/1+x-1~=x (x→0);nx2 -1~2(x-1)= 0(x -1) (x →1)

x x x 2 例 = → ( ) ( 0), 2 x x O x x − − = − → 1 2( 1) ( 1) ( 1). sin ( 0), x x x → 1 2 2 1 cos ( ) ( 0), 2 − = → x x O x x 1 ( 0), x e x x − → 1 1 1 ( 0); n x x x n + − →

定理5.4α与β是等价无穷小量的充要条件是β=α +o(α)

( . 5.4 = )      + 定理 与 是等价无穷小量的充要条件是