《复变函数与积分变换》课程教学资源（试卷习题）试题十（答案）

试卷十参考答案一、判断题（每空2分，共20分）1、错2、错3、对4、错错5、6、错错7、8、错9、错10、错填空（2*10=20）二、11.（17)Qu_ovou-y)12.axyayOx13.（2元）.14、（eir+1=0).15、（i(cos1-sin 1)）.16、（w=17、（i)yiUIz-zol20LxZ0o18、019、（k元(k=0,±1,±2)）

试卷十 参考答案 一、判断题（每空 2 分，共 20 分） 1、错 2、错 3、对 4、错 5、错 6、错 7、错 8、错 9、错 10、错 二、填空（2*10=20） 11．（17）. 12．（ x v y u y v x u   = −     =   , ）. 13．（ 2i ）. 14、（ +1 = 0 i e ）. 15、（ i(cos1− sin 1) ）. 16、（ z w − = 1 1 ）. 17、（i）. 18、（ a j a   + 1 | | 1 ） 19、（ k (k = 0,1,2) ）

元20、（2三、解答题，应用积分变换知识解答下列题目（每题5分，共35分）(1+V3i)3(1-i)0,3+i2(cos元+ isin 元)1、解：-1+1+i+(1+)0+2-7.3元3元(i+1)°23(cos+isin22=-i-1+1+i=02、解：利用参数方程可以计算出起点和末点z。=0,z,=1+i (3cosz+2z)dz = 3sin z+= It= 3sin(1+i)+(1+i)2 = 3sin(1+i)+2i1元 cos X dx = Rel,TO3、解：-e dx] = Re[i Re s(e"il=Re[元1+x201±x1+z2e2i-β-io4、解: F(o)=f(t)e-ia dt=["e-"e-ion dt =β? +02β+ioF()=F(o)eadt- Bcosar+osin addoβ2+022元5、解：对方程组做拉普拉斯变换得到1sX(s) - x(O)+ X(s) - Y(s) =s-12sY(s) - y(O)+3X(s)-2Y(s) =s-11X(s) = -s-1解可以得到1Y(s) =s-1用拉普拉斯逆变换可以得到[x(s) = e'(y(s) = e'auAxavAy1= lim=1,= lim6、证明：-1axAr-=0 AxayAy-0 AyQuavAr-Ay-1,= lim= lim=1axayAr->0AyAy-0Ax

20、（ 2  − _）. 三、解答题，应用积分变换知识解答下列题目（每题５分，共 3５分） １、解： i i i i i i i i i − + + + + = − + + + − + + + 1 1 ) 2 3 sin 2 3 2 (cos 2 (cos sin ) 2 3 (1 ) (1 ) ( 1) (1 3 ) 3 3 1 0 1 0 6 3     = −i −1+1+i = 0 ２、解：利用参数方程可以计算出起点和末点 z = 0,z =1+ i 0 1 z z dz z z i i i i i C (3cos 2 ) 3sin | 3sin(1 ) (1 ) 3sin(1 ) 2 1 2 0 2 + = + = + + + = + + +  ３、解： dx x x  + 0 + 2 1 cos i e e e i i z e dx i s x i x i z 2 ] 2 , )] Re[ 1 1 ] Re[ Re ( 1 1 2 1 Re[ 1 2 2   =  = + = + = − + − 4、解： 2 2 0 1 ( ) ( )           + − = + = = =    − −  − − i i F f t e dt e e dt i t t i t     − + + = = 0 2 2 1 cos sin ( ) 2 1 ( )            d t t f t F e dt i t ５、解：对方程组做拉普拉斯变换得到      − − + − = − − + − = 1 2 ( ) (0) 3 ( ) 2 ( ) 1 1 ( ) (0) ( ) ( ) s sY s y X s Y s s sX s x X s Y s 解可以得到      − = − = 1 1 ( ) 1 1 ( ) s Y s s X s 用拉普拉斯逆变换可以得到    = = t t y s e x s e ( ) ( ) 6、证明： lim 1 0 =   =    → x x x u x ， lim 1 0 =   =    → y y y v y lim 1 0 = −  −  =    → y y y u x ， lim 1 0 =   =    → x x x v y

所f(=)在原点满足C-R条件。ax"ay'ayax1117、解：f(=)==+12+2(z +1)(z +2)在圆环</z<2有/-1,/=11111-113(-1)2因此f(-)221+1 (-2)n-I2 2"2n=01-2(3分）在0<z+1<1内111(-1)"（5分）f(=)=≥ +11[(= + 1)]1z+1μ (z+1)"四、答：复变函数是自变量为复数的函数，实变函数的自变量是实变量的函数，复变函数是解析函数，有积分、导数、级数、留数等方法，给分标准：1、给出复变函数定义，复变函数类项给4分2、复变函数方法给出3分3、复变函数应用给出3分五、实验题（15分）1、【解】【Matlab源程序】[R,P,K]= residue ([1,0,1],[1,1])%结果为：2R=P=-1K=1 -1

所以 x v y u y v x u   = −     =   , ， f z( ) 在原点满足 C R− 条件。 7、解： 1 ( ) ( 1)( 2) f z z z = + + 2 1 1 1 + − + = z z 在圆环 1<|z|<2 有 | 1 2 | 1,| 1 |   z z 因 此      =  = +  =  = − − = − − + − − − = − − − − − = 0 1 1 1 0 1 ( 1) 2 ( 1) 2 ( ) 2 1 ( ) 1 1 ) 2 1 ( 1 2 1 ) 1 1 ( 1 1 ( ) n n n n n n n n n n n n z z z z z z z z f z （3 分） 在 0 1 1  +  z 内   = + − − + = − − + − + = 0 ( 1) ( 1) 1 1 1 [ ( 1)] 1 1 1 ( ) n n n z z z z f z （5 分） 四、答：复变函数是自变量为复数的函数，实变函数的自变量是实变量的函数，复变函 数是解析函数，有积分、导数、级数、留数等方法。 给分标准： 1、给出复变函数定义，复变函数类项给 4 分 2、复变函数方法给出 3 分 3、复变函数应用给出 3 分 五、实验题（１5 分） 1、【解】【Matlab 源程序】 [R,P,K]= residue ([1,0,1],[1,1]) %结果为： R= 2 P = -1 K = 1 -1

2、t=(0:0.1:2*pi);x=t.*sin(3*t);y=t.*sin(t).*sin(t);plot(x,y)3、解【Matlab源程序】syms t s;syms a b positivef=[exp(-a*t)*sin(b*t)];L=laplace(f)%结果为：L=1/b/(s+a)^2/b^2+1)4、【Matlab源程序】symsxw;symsbpositive：%定义符号参量bf=exp(-b~2*x 2);F=simple(fourier(f))%结果为：F =1/b*pi~(1/2)*exp(-1/4*w~2/b~2)把Matlab语言函数f（t）=exp（-b~2*x2)和F（s）=1/b*pi~（1/2)*exp（-1/4*w2/b2)1110写成数学表达式（f(t)=e-6Brete）和（F(s)=)。(4分)

2、t=(0:0.1:2*pi); x=t.*sin(3*t); y=t.*sin(t).*sin(t); plot(x,y) 3、解【Matlab 源程序】 syms t s;syms a b positive f=[exp(-a*t)*sin(b*t)]; L=laplace(f) %结果为： L =1/b/((s+a)^2/b^2+1) 4、【Matlab 源程序】 syms x w; syms b positive ;%定义符号参量 b f=exp(-b^2*x^2); F=simple(fourier(f)) %结果为: F =1/b*pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2/b^2) 把 Matlab 语言函数 f（t）=exp(-b^2*x^2)和 F(s) =1/b*pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2/b^2) 写成数学表达式（ 2 2 ( ) b x f t e − = ）和（ 2 2 4 1 2 1 1 ( ) b e b F s   − = ）。（4 分）