西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）一元函数微积分（定积分的应用）第六节 平均值

第六节平均值 函数的平均值 二、均方根

第六节 平均值 ◼ 一、函数的平均值 ◼ 二、均方根 ◼ 三、小结

函数的平均值 实例:用某班所有学生的考试成绩的算术平均 值来描述这个班的成绩的概貌 D≤y1+y+…yn 算术平均值公式 只适用于有限个数值 问题:求气温在一昼夜间的平均温度 入手点:连续函数f(x)在区间[,b上的平均值 讨论思想:分割、求和、取极限

实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均 值来描述这个班的成绩的概貌. n y y y y + + n = 1 2 算术平均值公式 只适用于有限个数值 问题：求气温在一昼夜间的平均温度. 入手点：连续函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值. 讨论思想：分割、求和、取极限. 一、函数的平均值

(1)分割:把区间[a,b分成n等分 a=x<x1<x2<…<x1<x=b 每个小区间的长度△x= b一 (2)求和:设各分点处的函数值为J,y1,y2…yn 函数f(x)在区间[,bl的平均值近似为 y+y1+y2+…yn-1 (3)取极限:每个小区间的长度趋于零

（1）分割： 把区间[a,b]分成n 等分 , a = x0  x1  x2  xn−1  xn = b 每个小区间的长度 ; n b a x −  = 设各分点处的函数值为 n y , y , y , , y 0 1 2  函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值近似为 ; 0 1 2 1 n y y y y + + + n− 每个小区间的长度趋于零. （2）求和： （3）取极限：

函数f(x)在区间[a,b的平均值为 y=imy++当2tym, n→0 V+y1+y2+…yn-b-a J n→0 b △ b-a im∑1Ax=im∑f(x-)r, f(x)d几何平均值公式 b 区间长度 =(b-a)y=(b-a)f(2)

lim , 0 1 2 1 n y y y y y n n − → + + + =  函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值为 n b a b a y y y y y n n −  − + + + = − → 0 1 2 1 lim   = x  = −  →  − = n i i x y x b a 1 1 0 lim 1 lim ( ) , 1 1 1 0= −  →  − = n i i x f x x b a  − = b a f x dx b a y ( ) 1 几何平均值公式 区间长度 = (b − a) y = (b − a) f ( )

例1计算纯电阻电路中正弦交流电i= sina在 个周期上的功率的平均值(简称平均功率) 解设电阻为R,则电路中的电压为 u=iR=lRsin at 功率P=ui= ISin2ot, 2元 一个周期区间[0,-1, 平均功率p=2” Im rsin2ot

例 1 计算纯电阻电路中正弦交流电i I t = m sin 在 一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）. 解 设电阻为 R ， 则电路中的电压为 u = iR I Rsin t, = m  功率 p = ui sin , 2 2 I R t = m  一个周期区间 ], 2 [0,   平均功率 p I R tdt m      2 2 2 0 sin 1 2  =

2兀 IR Ⅰ.Rsin2otl=1m 2丌0 sinad(at 2丌 R nt (1-cos 2at)d(at) 2丌兀 Ot sin 2at I R Ⅰ2R 2丌 I R n 2 m 1 m. Um=IMR 结论:纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之

p I R tdt m      2 2 2 0 sin 1 2  = sin ( ) 2 2 0 2 2 td t Im R       = (1 cos 2 ) ( ) 4 2 0 2 t d t Im R       = −      2 0 2 2 sin2 4       = − t t Im R   2 4 2 =  Im R 2 2 Im R = . 2 mUm I = (U I R) m = m 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．

、均方根 通常交流电器上标明的功率就是平均 功率.交流电器上标明的电流值都是一种 特定的平均值,习惯上称为有效值 周期性非恒定电流(如正弦交流电) 的有效值规定如下:当(t)在它的一个周 期T内在负载电阻R上消耗的平均功率, 等于取固定值Ⅰ的恒定电流在R上消耗的功 率时,称这个值/为(t)的有效值

通常交流电器上标明的功率就是平均 功率．交流电器上标明的电流值都是一种 特定的平均值，习惯上称为有效值． 周期性非恒定电流i （如正弦交流电） 的有效值规定如下：当i(t) 在它的一个周 期T 内在负载电阻R上消耗的平均功率， 等于取固定值I 的恒定电流在R 上消耗的功 率时，称这个值I 为i(t) 的有效值. 二、均方根

有效值计算公式的推导 固定值为的恒定电流在R上消耗的功率为2R, 电流(t)在R上消耗的功率为(t)R, 它在0,上的平均功率为rt()Rt, 按定义有PR=T(), i(tdt即I

固定值为I 的恒定电流在R 上消耗的功率为I R 2 , 电流i(t)在R上消耗的功率为i (t)R 2 , 它在[0,T]上的平均功率为 ( ) , 1 0 2  T i t Rdt T ( ) , 1 0 2 2  = T i t Rdt T 按定义有 I R   = T i t dt T I 0 2 2 ( ) 1 ( ) . 1 0 2  = T i t dt T I 有效值计算公式的推导 即

正弦交流电i()= I sin at的有效值 2 i sin tdt 2丌J0 nt V2I sin atd(at) 2 sin 2ot 4r/ ar n 2 2 0 结论:正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 b 函数f(x)在{a,b上的均方根 b ∫(x)x

正弦交流电i t I t ( ) = m sin 的有效值 I I tdt m      2 0 2 2 sin 1 2  = ( ) 2 2 0 2 2 sin td t Im       =      2 0 2 2 sin2 4       = − t t Im . 2 m I = 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2 1 ( ) . 1 2  − b a f x dx b a 函数 f (x)在[a,b]上的均方根

、小结 函数的平均值P=b(x)k 函数的有效值、bxyt (理解平均功率、电流的有效值等概念)

函数的平均值 函数的有效值 ( ) ; 1  − = b a f x dx b a y ( ) . 1 2  − b a f x dx b a （理解平均功率、电流的有效值等概念） 三、小结