西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）级数与微分方程（无穷级数）第八节 正弦级数与余弦级数

第八节正弦级数与余弦级数 奇函数和偶函数的傅里叶级数 二、函数展开成正弦级数或余弦级数 三、小结

第八节 正弦级数与余弦级数 ◼ 一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 ◼ 二、函数展开成正弦级数或余弦级数 ◼ 三、小结

奇函数和偶函数的傅里叶级数 般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 定理 (1)当周期为2的奇函数f(x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 0 (n=0,1,2,…) f(rsin ndx (n=1, 2,. π0

一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 (1)当周期为2的奇函数 f ( x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 ( )sin ( 1,2, ) 2 0 ( 0,1,2, ) 0   =  = = =   b f x nxdx n a n n n 定理 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项

(2)当周期为2的偶函数f(x)展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 f(r)cos ndx (n=0, 1, 2, . 兀0 b.=0 证明(1)设f(x)是奇函数, f∫(x)c0smx=0(n=0,1,2,3,…) 奇函数

(2)当周期为2的偶函数 f ( x)展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 0 ( 1,2, ) ( )cos ( 0,1,2, ) 2 0   = = =  =   b n a f x nxdx n n n 证明 (1)设f (x)是奇函数,   =  − an f (x)cos nxdx 1 = 0 (n = 0,1,2,3, ) 奇函数

sinnar xsin nra T 偶函数 同理可证(2) 定理证毕 定义如果∫(x)为奇函数傅氏级数∑ b sinn 称为正弦级数 如果f(x)为偶函数,傅氏级数+∑ a. cos nr 称为余弦级数

  =  0 ( )sin 2 f x nxdx (n = 1,2,3, ) 同理可证(2) 定义 如果 f (x)为奇函数,傅氏级数 b nx n n sin 1   = 称为正弦级数. 如果 f (x)为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0 +   = 称为余弦级数.   =  − bn f (x)sinnxdx 1 偶函数 定理证毕

例1设f(x)是周期为2的周期函数,它在 -兀,T)上的表达式为f(x)=x,将f(x)展开成 傅氏级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 在点x=(2k+1)丌(k=0,±1,±2,)处不连续, 收敛于 f∫(π-0)+∫(-π+0)π+(-兀) 0. 在连续点x(x≠(2k+1))处收敛于f(x)

例 1 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它 在 [−,)上的表达式为 f ( x) = x ,将f (x) 展开成 傅氏级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = (2k +1)(k = 0,1,2, )处不连续, 2 f ( − 0) + f (− + 0) 收敛于 2  + (−) = = 0, 在连续点x(x  (2k +1))处收敛于f (x)

x≠(2k+1)时∫(x)是以2π为周期的奇函数, 和函数图象 图-3m-2元-7 元/2兀3mx 0,(n=0,1,2,)

−   − 3 − 2 −   2 3 x y0  x  (2k +1)时 f (x)是以2为周期的奇函数, 和函数图象a = 0, (n = 0,1,2,) n

So f(x)sin ndx==5o sinne T cosn,snm兀 +2-n =--coSn兀=-(-1) n+1 (n=1,2,) f(x)=2(sin- sin 2x +sin 3x-.) 3 n+1 ∑ SInn (-∞<x<+0;x≠士π,土3π,…)

  =  0 ( )sin 2 bn f x nxdx   =  0 sin 2 x nxdx  − +  = 2 0 ] cos sin [ 2 n nx n x nx = − n n cos 2 ( 1) , 2 +1 = − n n (n = 1,2, ) sin3 ) 3 1 sin2 2 1 f (x) = 2(sin x − x + x − sin . ( 1) 2 1 1   = + − = n n nx n (−  x  +; x  ,  3, )

y=2(sin x -sin 2x+ sin 3x- sin 4x+=sin 5x) 观察两函数图形 y=x

sin5 ) 51 sin4 41 sin 3 31 sin 2 21 y = 2(sin x − x + x − x + x y = x 观察两函数图形

例2将周期函数u(t)= Elint展开成傅氏级数, 其中E是正常数 解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个 数轴上连续 u() (为偶函数, 2丌 T T 2π n出(l=- Esin tdt4E

例 2 将周期函数u(t) = Esin t 展开成傅氏级数, 其中E是正常数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个 数轴上连续. u(t)为偶函数,  = 0, bn    = 0 0 ( ) 2 a u t dt t u(t) − 2 −  0  2 E   =  0 sin 2 E tdt , 4  = E (n = 1,2, )

rtU(tcos ndt 2 xJo esint cos ndt sin(n+1t-sin(n-1tdt E cos(n+I)t, cos(n-1)t (n≠1) T n n 4E (2k)2-17 当n=2k (k=1,2,…) 当n=2k+1

  =  0 ( )cos 2 a u t ntdt n   =  0 sin cos 2 E t ntdt   + − −  = 0 [sin(n 1)t sin(n 1)t]dt E     = + = −  − = 0, 2 1 , 2 [(2 ) 1] 4 2 n k n k k E 当 当 (k = 1,2, )        − − + + + −  = 1 0 cos( 1) 1 cos( 1) n n t n E n t (n  1)