西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）级数与微分方程（无穷级数）第五节 函数的幂级数的展开式的应用

第五节函数的幂级数 展开式的运用 近似计算 二、计算定积分 三、求数项级数的和 四、欧拉公式 五、小结

第五节 函数的幂级数 展开式的运用 ◼ 一、近似计算 ◼ 二、计算定积分 ◼ 三、求数项级数的和 ◼ 四、欧拉公式 ◼ 五、小结

近似计算 A=a1+a,+…+a,+ A≈a1+a2+…+mn 误差rn=a n+1+a n+2 十 两类问题 1给定项数求近似值并估计精度; 2给出精度,确定项数 关健:通过估计余项确定精度或项数

一、近似计算 ,  A = a1 + a2 ++ an + ,  A  a1 + a2 ++ an . 误差 rn = an+1 + an+2 + 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数

常用方法: 1若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2若不是交错级数,则放大余和中的各项使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和 例1计算e的近似值使其误差不超过10-3 解ex=1+x+x2+…+x"+ 2 令x=1,得e≈1+1++…

常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 , 10 . 计算 的近似值 使其误差不超过 −5 e 解 , ! 1 2! 1 1  x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e  + + ++

余和: 十 (n+2)p 1 十 ( n (n+1)!n+2 十 (n+1 n+I (n+2x nn 欲使rn≤10,只要≤10 nn 即nn!≥105,而8.8!=322560>105 11 e≈1+1+++…+≈2.71828 2!3

余和: + + + +  ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + +  n n n ! 1 n n = 10 , −5 欲使 rn  10 , ! 1 −5  n n 只要 ! 10 , 5 即n n  8 8! 322560 10 , 5 而  =  8! 1 3! 1 2! 1 e  1+ 1+ + ++  2.71828

3 例2利用sinx≈x x3 计算sin9"的近似值, 并估计误差 解sin9=sinπ≈z-z 2020620 T (0.2)< <10-, 5!20120 300000 .sin9≈0.157079-0.000646≈0.156433 其误差不超过105

例2 . sin9 , 3! sin 0 3 并估计误差 利用 计算 的近似值 x x  x − 解 20 sin9 sin 0  = ) , 20 ( 6 1 20   3  − 5 2 ) 20 ( 5! 1  r  5 (0.2) 120 1  300000 1  10 , −5  sin9 0.157079 0.000646 0   −  0.156433 其误差不超过 . 5 10−

计算定积分 例如函数e 2 Sin ,原函数不能用初等 n 函数表示,难以计算其定积分 解法「被积函数 定积分的近似值 展开成幂级数 逐项积分

二、计算定积分 , . , ln 1 , sin , 2 函数表示 难以计算其定积分 例如函数 原函数不能用初等 x x x e − x 解法 展开成幂级数 逐项积分 被积函数 定积分的近似值

例3计算 I SIn dx的近似值,精确到10 0 解 SInx x6+…x∈(=∞,+∞) 3 5! 7! Sinx dx=1 3.3+5 十 5!7·7! 收敛的交错级数 第四项 <10 7.7!3000 取前三项作为积分的近似值得 Isin 十 ≈0.9461 3·3!5·5

第四项 3000 1 7 7! 1   10 , −4  取前三项作为积分的近似值,得 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0  +   −  dx x x  0.9461 例3 , 10 . sin 4 1 0 − 计算  dx的近似值 精确到 x x  = − 2 + 4 − 6 + 7! 1 5! 1 3! 1 1 sin x x x x x 解 x(−,+) +  −  +  = −  7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 dx x x 收敛的交错级数

、求数项级数的和 1.利用级数和的定义求和: (1)直接法;(2)拆项法;(3)递推法 oo 例4求∑ arctan 2 的和 H-=1 2n 解s1= arctan arctan + arctan=arctan 2 8 arctan 8 3 28

三、求数项级数的和 1.利用级数和的定义求和: (1)直接法; (2)拆项法; (3)递推法. 例4 . 2 1 arctan 1 求  2 的和  n= n 解 , 2 1 s1 = arctan 8 1 arctan 2 1 s2 = arctan + 8 1 2 1 1 8 1 2 1 arctan −  + = , 3 2 = arctan

3 2tarctan-=arctan+ arctan arctan 18 3 18 -1 假设sA1= arctan Sk arctan + arctan 2k2-arctan k+1 s arctan → arctan1 π(n→∞) n+1 故∑ arctan n=1 2n24

18 1 arctan 3 2 = arctan + 18 1 s3 = s2 + arctan , 4 3 = arctan arctan1 1 arctan → +  = n n sn ( ) 4 →   = n . 2 4 1 arctan 1 2   =  n= n 故 , 1 1 arctan k k sk − 假设 − = 2 2 1 arctan 1 arctan k k k sk + − = , 1 arctan + = k k

2.阿贝尔法(构造幂级数法) o ∑an=lim∑qnx”,求得(x)= ∑anx n=0 x→1 =0 ∑an=lim(x).(逐项积分、逐项求导) =0 2n-1 例4求∑ 的和 2 解令(x)=∑ 2n-1、2n2 2

2.阿贝尔法(构造幂级数法): lim , 0 1 0 n n n x n an a x  → =  = −  = ( ) , 0 n n s x an x  = 求得 = lim ( ). 1 0 a s x x n n → −  =  = (逐项积分、逐项求导) 例4 . 2 2 1 1 求  的和  = − n n n 解 , 2 2 1 ( ) 2 2 1 −  =  − = n n n x n 令 s x (− 2, 2)