西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）一元函数微积分（不定积分）第五节 习题

题课

习 题 课

、主要内容 原函数 不定积分 选择u有效方法 u积分法/积分法直接 分部 基 积分法本 积 分 第一换元法‖几种特殊类型表 第二换元法 函数的积分

积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 一、主要内容

1、原函数 2、不定积分 (定义「f(x)dx=F(x)+C (2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的 (3)不定积分的性质 3、积分法:三法一表 基本积分表 分项积分法 换元积分法 分部积分法

1、原函数 2、不定积分 (1) 定义  f (x)dx = F(x) + C (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. (3) 不定积分的性质 3、积分法：三法一表 基本积分表 分项积分法 换元积分法 分部积分法

4、基本积分表(24个公式) 5、直接积分法(分项积分法 6、第一类换元法(凑微分法) 凑微分法的主要思想: 将不同的部分中间变量与积分变量 变成相同,使之能套用基本积分公式 此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式,并 善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子

4、基本积分表（24个公式） 5、直接积分法（分项积分法） 6、第一类换元法（凑微分法） 凑微分法的主要思想： 将不同的部分——中间变量与积分变量—— 变成相同，使之能套用基本积分公式。 此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并 善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子

常见类型 n+1 2 f∫(x) 3. f(Inx) 2 5.f(sin x)cos xd; 6.f(a )a dc 7. f(tan x)sec xdr; 8.J(arctan x) 1+x2

常见类型: 1. ( ) ; 1 f x x dx n+ n ; ( ) 2. dx x f x ; (ln ) 3. dx x f x ; ) 1 ( 4. 2 dx x x f 5. f (sin x)cos xdx; 6. f (a )a dx; x x 7. (tan )sec ; 2 f x xdx ; 1 (arctan ) 8. 2 dx x f x +

7、第二类换元法 引入适当的变量代换,变化被积表达式,使之 化简并变成容易的积分 常用代换: 1.x=(at+b),a∈R 2三角函数代换 如f(x)=√a2-x2,令x= a sin t 3双曲函数代换 如f(x)=√a2+x2,令x= asinht. 4倒置代换令x

7、第二类换元法 引入适当的变量代换，变化被积表达式，使之 化简并变成容易的积分。 常用代换: 1.x = (at + b) ,  R.  ( ) , sin . 2. 2 2 如f x = a − x 令x = a t 三角函数代换 ( ) , sinh . 3. 2 2 如f x = a + x 令x = a t 双曲函数代换 . 1 4. t 倒置代换 令x =

5根式代换 ax+ b ax+b 被积式如含 则令t= cr +d cr +d 被积式如含max+b,ax+b cetdc+d 则令t ax+b k=LCMRm, ni cx+d 6指数代换 被积式如含a通常可令t=ax

5.根式代换 n cx d ax b + + 被积式如含 n cx d ax b t + + 则令 = 被积式如含 m n cx d ax b cx d ax b + + + + , 则令 k cx d ax b t + + = k = LCM{m,n} 6.指数代换 被积式如含 x a 通常可令 x t = a

8、分部积分法 ∫uptx=my-hatc udv=uv-vdu 分部积分公式 选择u、V的有效方法:LAET选择法 反三角函数;L-对数函数; A-代数函数;E-指数函数; T-三角函数;哪个在前哪个选作u 反、对、幂、指、三 排序在后者优先进入积分号

8、分部积分法 uv dx uv u vdx    = −   udv = uv −  vdu 分部积分公式 选择 u、v 的有效方法:ILAET选择法 I----反三角函数； L----对数函数； A----代数函数； E----指数函数； T----三角函数； 哪个在前哪个选作u. 反、对、幂、指、三 排序在后者优先进入积分号

9、几种特殊类型函数的积分 (1)有理函数的积分 待定系数法化有理真分式为部分分式 四种类型最简分式的不定积分 -a (x-a) Ax+ B Ax+ B x t px t q (x px+q 有递推公式

9、几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 待定系数法化有理真分式为部分分式 四种类型最简分式的不定积分  − dx x a 1 dx x a  m ( − ) 1 dx x px q Ax B  + + + 2 dx x px q Ax B  m + + + ( ) 2 有递推公式

(2)三角函数有理式的积分 ∫Rxc52112)2a (3)简单无理函数的积分 讨论类型R(x,ax+b)R(x,+b cx+e 解决方法作代换去掉根号 注意某些初等函数的原函数不是初等函数 如[ek「Sxak nx 俗称“积不出来

（2） 三角函数有理式的积分  R(sin x,cos x)dx = du u u u u u R 2 2 2 2 1 2 1 1 , 1 2 +       + − +  （3） 简单无理函数的积分 讨论类型 ( , ) n R x ax + b ( , n ) cx e ax b R x + + 解决方法 作代换去掉根号． 注意 某些初等函数的原函数不是初等函数 如   e dx x 2  dx x sin x  dx ln x 1  + dx x 4 1 1 俗称“积不出来