西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）一元函数微积分（中值定理与导数应用）第六节 最大值、最小值问题

最大值、最小值问题 在生产实践中,为了提高经济效益,必须要 考虑在一定的条件下,怎样才能是2用料最省, 费用最低,效率最高,收益最大等问题。这类问 题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值 问题。最值问题主要讨论问题的两个方面:最值 的存在性;最值的求法 假定f(x)在[a,b上连续,除去有限个点外 处处可导,且至多有有限个点处导数为0。我们 就在这样的条件下讨论f(x)在a,b1上的最值 的求法

最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能是2用料最省， 费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问 题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值 问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值 的存在性 ；最值的求法。 假定f ( x )在[ a , b ]上连续，除去有限个点外 处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们 就在这样的条件下讨论f( x )在[ a , b ]上的最值 的求法

最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质f(x)在[a,b 上必存在最大值和最小值 其次,若最大值(或最小值)在开区间内取得, 则这个最值一定是极值,由假定,这个点一定是 驻点或不可导点;此外最值也可能在区间的端点 处取得,故求连续函数在闭区间上最值的方法是 0 a

一、最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质f( x )在[ a , b ] 上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得， 则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是 驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点 处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是 o x y o x y a b o x y a b a b

步骤 1求驻点和不可导点; 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; Jmnx=max{f(a),f(c1)…,f(cm),f(d1),…,f(ln),f(b)} mn 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值(最大值或最小值)

步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; max ( ), ( 1 ), , ( ), ( 1 ), , ( ), ( ) (min) max (min) y = f a f c  f cm f d  f dn f b 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)

、应用举例 例1求函数y=2x3+3x2-12x+14的在-3,41 上的最大值与最小值 解:∫(x)=6x+2)x-1) 解方程∫(x)=0,得x1=-2,x2=1 计算∫(-3)=23;f(-2)=34; f(1)=7; f(4)=142; 例2求f(x)=x3-(x2-1)3在[-2,2上的最值 2 解(x)=x3-(x 2-1)3.2x 3

二、应用举例 例1 解  f (x) = 6(x + 2)(x −1) . 2 3 12 14 [ 3,4] 3 2 上的最大值与最小值 求函数 y = x + x − x + 的在 − 解方程 f (x) = 0,得 2, 1. x1 = − x2 = 计算 f (−3) = 23; f (−2) = 34; f (1) = 7; f (4) = 142; 例2 求 ( ) ( 1) 3在[ 2,2]上的最值 1 3 2 2 f x = x − x − − 解 f x x (x 1) 2x 3 1 3 2 ( ) 3 2 3 2 1  = − −  − −

2(x2-1)3-x 3 rr 令f(x)=0得驻点x=±(x2-1=-x2) 2 易知,在x=0,x=土1处∫(x)不存在 这些点处的函数值为: f(0)=1f(士)=43 f(±1)=1f(±2)=43-3 比较以上各点处的函数值可知

3 2 3 2 1 3 4 3 2 2 ( 1) ( 1) 3 2 − − − =  x x x x 令 f (x) = 0 得驻点 2 1 x =  ( 1 ) 2 2 x − = − x 易知，在x = 0, x = 1处 f (x)不存在 这些点处的函数值为： 3 1 3 1 3 1 ( 1) 1 ( 2) 4 3 ) 4 2 1 (0) 1 (  =  = − =  = f f f f 比较以上各点处的函数值可知

max f∫(土)=43 2 ∫mim=∫(±2)=43-3 在求函数的最值时,特别值得指出的是下述情况: f(x)在一个区间内可导,且只有一个驻点x,并且 这个驻点x同时也是fx)的极值点,则当fxo)是极大 (小)值时,f(x0)是函数fx)在该区间上的最大 (小)值。 这是因为此时在x0的左、右两侧f(x)的符号 必定相反,亦即在x0的左、右两侧f(x)的单调性 必定相反

3 1 max ) 4 2 1 f = f ( = 3 1 3 1 fmin = f (2) = 4 − 3 在求函数的最值时，特别值得指出的是下述情况： f( x )在一个区间内可导，且只有一个驻点x0，并且 这个驻点x0同时也是f(x)的极值点，则当f(x0 )是极大 （小）值时， f( x0 )是函数 f( x ) 在该区间上的最大 （小）值。 这是因为此时在 x0 的左、右两侧 f (x) 的符号 必定相反，亦即在 x0 的左、右两侧f ( x )的单调性 必定相反

例3敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米分钟的 速度向正北逃窜,同时我军摩托车从河的南岸B 处向正东追击速度为2千米/分钟.问我军摩托车 何时射击最好(相距最近射击最好)? 解(建立敌我相距函数关系 s(t) 设t为我军从B处发起 追击至射击的时间分) 0.5公里 敌我相距函数s(t) 4公里 s(t)=√(0.5+1)2+(4-2t) (2)求s=s()的最小值点

敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的 速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B 处向正东追击速度为2千米/分钟．问我军摩托车 何时射击最好（相距最近射击最好）？ 例3 解 (1)建立敌我相距函数关系 0.5公里 4公里 B A  追击至射击的时间(分). 设 t 为我军从B处发起 敌我相距函数 s(t) s(t) 2 2 s(t) = (0.5 + t) + (4 − 2t) (2) 求s = s(t)的最小值点

5t-7.5 (05+)2+(4-202 令s(t)=0, 得唯一驻点t=15 故得我军从B处发起追击后1.5分钟射击最好. 实际问题求最值应注意 (1)建立目标函数; (2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点,则该点的 函数值即为所求的最(或最小值

s(t) = . (0.5 ) (4 2 ) 5 7.5 2 2 t t t + + − − 令s(t) = 0, 得唯一驻点 t = 1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5 分钟射击最好. 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 函数值即为所求的最 或最小 值． 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 ( )

例4某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定 为每月180元时,公寓会全部租出去.当租 金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费.试问房租定为多少可获得最大收入? 解设房租为每月x元, x-180 租出去的房子有50 套, 10 每月总收入为 R(x)=(x-2050 x-180 10

例4 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 x 元， 租出去的房子有  套，      − − 10 180 50 x 每月总收入为 R(x) = (x − 20)       − − 10 180 50 x

R(x)=(x-2068 10 R(x)=68-+(x-20 10 10/÷0~ 5 R(x)=0→x=350(唯一驻点) 故每月每套租金为350元时收入最高 最大收入为R(x)=(350-20)68、350 10 =10890(元)

      = − − 10 ( ) ( 20) 68 x R x x        + − −       = − 10 1 ( 20) 10 ( ) 68 x x R x 5 70 x = − R(x) = 0  x = 350 （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为       = − − 10 350 R(x) (350 20) 68 = 10890 (元)