西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）一元函数微积分（函数与极限）第七节 无穷小的比较

元穷小的比较 、无穷小的比较 例如,当x→>0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小 2 m x2比3x要快得多; 03x 观察各极限一 lim sine sinx与x大致相同; x→0x r sin lim x= lim sin1不存在不可比 0 x→0 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不 同

无穷小的比较 一、无穷小的比较 例如, . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 观 察 各 极 限 x x x 3 lim 2 →0 = 0, 3 ; x 2比 x要快得多 x x x sin lim →0 = 1, sin x与x大致相同; 2 2 0 1 sin lim x x x x→ x x 1 lim sin →0 = 不存在. 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同

定义:设a,B是同一过程中的两个穷小,且α≠0 (1)如果imp=0就说β是比α高阶的无穷小 记作β=0(x) (2)如果imP=C(C≠0),就说β与a是同阶的无穷小 特殊地如果limP=1,则称β与α是等价的无穷小 记作a~β (3)如里1B=CC≠0,k>0,就说是a的阶的 无穷小

定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且  0. ( ); (1) lim 0, ,  =  =     记作 o 如果 就说 是比 高阶的无穷小 (2) 如果lim = (  0),就说与是同阶的无穷小;   C C ~ ; lim 1, ;   =     记作 特殊地 如果 则称 与 是等价的无穷小 . (3) lim ( 0, 0), 无穷小 如果 k C C k 就说是的k阶的   =  

例1证明:当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷小 4xtan'x 解lim tan x 4=4im 0 0 故当x→>Q时,4xtan3x为x的四阶无穷小 例2当x→0时,求tnx-sinx关于x的阶数 tanx-sinx 解 lim =Dn、tanx1-c0sx、1 x→0 x→0x 2 2 tanx-sinx为x的三阶无穷小

例 1 : 0 ,4 tan . 证明 当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 解 4 3 0 4 tan lim x x x x→ 3 0 ) tan 4lim ( x x x → = = 4 , 0 ,4 tan . 故当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 例 2 当x → 0时,求tan x − sin x关于x的阶数. 解 3 0 tan sin lim xx x x − →  ) tan 1 cos lim( 2 0 x x x x x − =  → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小

常用等价无穷小:当x→>Q时, sinx, arcsinx x, tanx x, arctan, In(1+x)-x, elx, 1-cosx.x √1+x- 队1+x-1~1 2 (1+x)-1~a 注1.上述10个等价无穷小(包括反、对、幂、 指、三)必须熟练掌握 2将x换成f(x)→>0都成立

常用等价无穷小: 当x → 0时, . 2 1 ln(1 ) ~ , 1 ~ , 1 cos ~ tan ~ , arctan ~ , sin ~ , arcsin ~ , 2 x x e x x x x x x x x x x x x + − − x x 2 1 1+ −1 ~ x n x n 1 1+ − 1 ~ x x  (1+ ) − 1 ~ 注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、 指、三）必须熟练掌握 2.将x换成f (x) → 0都成立

用等价无穷小可给出函数的近似表达式: c lim l,;lim→P=0,即a-β=0(a), 于是有α=B+o(a).同理也有B=a+0(B) 一般地有a~B分B=a+0(a) 即a与f等价≥与互为主要部分 例如,Sinx=x+0(x),cosx=1-x2+0(x2) 2

用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim = 1,    lim = 0,   −   即 −  = o(), 于是有  =  + o(). 同理也有 =  + o( ) 一般地有  ~    =  + o() 即α与β等价  α与β互为主要部分 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 cos 1 2 2 x = − x + o x

补充 高阶无穷小的运算规律 (1).(x")±o(x")=0(x2) 其中k=min{m,n} (2).O(x")·o(x")=o(x +n (3).x"·o(x")=0(x"+") (4).q(x)·0(x")=o(x") 其中g(x)为有界

补充 高阶无穷小的运算规律 min{ , } (1). ( ) ( ) ( ) k m n o x o x o x m n k =  = 其中 (2). ( ) ( ) ( ) m n m n o x o x o x +  = (3). ( ) ( ) m n m n x o x o x +  = 其中 ( )为有界 (4). ( ) ( ) ( ) x x o x o x n n    =

二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) 设a~a,B~阻且皿m,存在,则阝∠me 证im ββ’a′ CC lim -=lim 意义 β β 求两个无穷小之比的极限时,可将其中的分子 或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单 的无穷小代替,以简化计算。具体代换时,可只代 换分子,也可只代换分母,或者分子分母同时代换

二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) ~ , ~ lim , lim lim .             =   设  且 存在 则 证   lim lim( )         =         = lim lim lim lim .   = 意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子 或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单 的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代 换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换

例3求lm tan 2x c01-coS x 解当x→>0时,1-c0sx~x2,tan2x~2x 原式=lim (2x) 8 2 注意不能滥用等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别替换 等价关系具有:自反性,对称性,传递性

例3 . 1 cos tan 2 lim 2 0 x x x − 求 → 解 , tan2 ~ 2 . 2 1 0 , 1 cos ~ 2 当x → 时 − x x x x 2 2 0 2 1 (2 ) lim x x x→ 原式 = = 8. 注意 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 等价关系具有：自反性，对称性，传递性

例4求lm tanx-sinx sin 2x 错解当x→>0时,tanx~x,sinx~x 原式×lim x-x x→0 2x)3 解当x→Q时,sin2x~2x, tanx-sinx= tan x(1-cos x)-x, 原式=lim2 x)(2x)316

例4 . sin 2 tan sin lim 3 0 x x x x − 求 → 解 当x → 0时, tan x ~ x, sin x ~ x. 3 0 (2 ) lim x x x x − = 原式 →  = 0. 错 解 当x → 0时, sin2x ~ 2x, tan x − sin x = tan x(1− cos x) , 2 1 ~ 3 x 3 3 0 (2 ) 2 1 lim x x x→ 原式 = . 16 1 =

例5求lm tan 5x-cosx+1 x→0 sinr F tanx=5x +o(x), sin 3x=3x+o(x), 1-cosx=x2+0(x2) 2 5x+0(x)+x2+0(x2) 原式=lim 2 →0 3x+0(x) 0(x 0(x 5+ lim x2x 5 x→>0 0(x 3 3+

例 5 . sin 3 tan 5 cos 1 lim0 x x x x − + → 求 解 tan x = 5 x + o(x), sin 3x = 3x + o(x), ( ). 21 1 cos 2 2 − x = x + o x3 ( ) ( ) 21 5 ( ) lim 2 2 0 x o x x o x x o x x + + + + = → 原式 x o x x o x x x o x x ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 5 lim 2 0 + + + + = → . 35 =