西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）一元函数微积分（中值定理与导数应用）第十节 习题

题课

习 题 课

、主要內容 洛必达法则 0°,1°,∞0型 auchy 令 中值定理四-型一(0型 取对数 1/g-1/ 0 0型 oO F(=x g 型 o f·g Lagrange (a)=f(b) 中值定理 Roe导数的应用 定理 单调性,极值与最值, n=0 凹凸性,拐点,函数 Taylor 常用的 图形的描绘 中值定理 泰勒公式‖曲率;求根方法

洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1  , 0 型  −  型 0   型 型 0 0 型   Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1  = g f g f f g 1 1 1 1  − − = 取对数 令 g y = f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用 一、主要内容

1、罗尔中值定理 2、拉格朗日中值定理 3、柯西中值定理 4、洛必达法则 10.0型及一型未定式 2.0·∞,0-,0°,1°,∞型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 注意:洛必达法则的使用条件

1、罗尔中值定理 2、拉格朗日中值定理 3、柯西中值定理 4、洛必达法则 型及 型未定式   0 0 1 . 0 2 0 . 0  , − ,0 0 ,1  , 0型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 . 注意：洛必达法则的使用条件

5、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式 e sin x cosx In(1+x), (1+x) Fermat定理 若f(x)在x0处可导,且在x的某一邻域内,有 f(x)≥f(x0)(或f(x)≤f(x),则f(x)=0 中值定理揭示了导数与函数之间的 关系,是导数应用的理论基础,是利用 导数研究函数性质的有效工具。是沟通 导数的局部性质与函数在区问上的整体 性质的重要桥梁

5、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式  e ,sin x ,cos x ,ln(1 x) ,(1 x) x + + Fermat 定理 ( ) ( )( ( ) ( )) ( ) 0 ( ) , 0 0 0 0 0 f x  f x f x  f x f  x = f x x x 或 ，则 若 在 处可导，且在 的某一邻域内 有 中值定理揭示了导数与函数之间的 关系，是导数应用的理论基础，是利用 导数研究函数性质的有效工具。是沟通 导数的局部性质与函数在区间上的整体 性质的重要桥梁

6、导数的应用 (1)函数单调性的判定法 (2)函数的极值及其求法 极值必要条件、第一、第二充分条件 求极值的步骤: (3)最大值、最小值问题 (4)曲线的凹凸与拐点 (5)函数图形的描绘 (6)弧微分曲率曲率圆

6、导数的应用 (1) 函数单调性的判定法 (2) 函数的极值及其求法 极值必要条件、第一、第二充分条件 求极值的步骤: (3) 最大值、最小值问题 (4) 曲线的凹凸与拐点 (5) 函数图形的描绘 (6) 弧微分 曲率 曲率圆

二、典型例题 例1验证罗尔定理对y= n sin x在上 66 的正确性 解∵D:2Aπ<X<2kπ+π,(k=0,±1,…) 丌5 且在[, 上连续 66 又y=cotx在(,5内处处存在 并且∫()=f()=-In2

例1 . ] 6 5 , 6 lnsin [ 的正确性 验证罗尔定理对 在 上   y = x 解  D : 2k  x  2k + , (k = 0,1, ) ] . 6 5 , 6 且在[ 上连续   又 在 )内处处存在 6 5 , 6 cot (   y = x ) 6 5 ) ( 6 (  =  并且 f f = −ln2 二、典型例题

函数y= In sin x在,死上满足罗尔定理 的条件 由y =cotx=U, π5几 )内显然有解x T 在 取ξ=。,则∫(ξ)=0. 这就验证了命题的正确性

. ] 6 5 , 6 lnsin [ 的条件 函数 在 上满足罗尔定理    y = x 由 y = cot x = 0, 在 )内显然有解 6 5 , 6 (   . 2  x = , 2  取  = 则 f () = 0. 这就验证了命题的正确性

例2 Darboux定理设f(x)在a,b内可导 则f(x)必至少有一次取得介于f(a)与∫(b) 之间的每一个值 证首先假定f(a)·f(b)0,f(b)<0 如右图所示 由假设知f(x)在a,b上连续 故f(x)在某点处取得最大值 这里2≠a,b

例 2 Darboux定理 : 设 f (x)在[a,b]内可导 之间的每一个值 则f (x)必至少有一次取得介于 f (a)与f (b) 证 首先假定 f (a) f (b)  0 不妨设 f (a)  0, f (b)  0 如右图所示 o y x a  b 由假设知 f (x)在[a,b]上连续 故f (x)在某点处取得最大值 这里  a,b

由f(a)>0→f(x)在x=a的右方邻近,有 f(x)>∫(an) 由f(b)∫(b) →aC>∫(b) 引进辅助函数F(x)=f(x)-Cx 则F(x)在a,b内可导→F(x)=f(x)-C

由 f (a)  0  f (x)在x = a的 右方邻近，有 f (x)  f (a) 由 f (b)  0  f (x)在x = b的 左侧邻近，有 f (x)  f (b)  a    b 由 Fermat 定理,得 f ( ) = 0 其次，取介于 f (a)与f (b) 之间的任意数 C 为明确起见，不妨设 f (a)  C  f (b) 引进辅助函数 F(x) = f (x) − Cx 则 F(x)在[a,b]内可导  F(x) = f (x) −C

→F(a)=f(a)-C>0 F"(b)=f(b)-C<0 由上述已证知∈(a,b)使F()=0 即f(4)=C 例3证明方程4ax3+3bx2+2cx=a+b+c 在(0,1)内至少有一实根 「分析]如令f(x)=4ax3+3bx2+2cx-(a+b+c) 则f(0),f(1)的符号不易判别 不便使用介值定理 用Role定理来证

 F(a) = f (a) −C  0 F(b) = f (b) −C  0 由上述已证知  (a,b)使F( ) = 0 即 f ( ) = C 例3 证明方程 4ax + 3bx + 2cx = a + b + c 3 2 在(0,1)内至少有一实根 [分析] 如令 ( ) 4 3 2 ( ) 3 2 f x = ax + bx + cx − a + b + c 则 f (0), f (1) 的符号不易判别 不便使用介值定理 用 Rolle 定理来证