西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）一元函数微积分（定积分的应用）第五节 功、水压力和引力

第五节功水压力和引力 变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力 四、小结

第五节 功 水压力和引力 ◼ 一、变力沿直线所作的功 ◼ 二、水压力 ◼ 三、引力 ◼ 四、小结

变力沿直线所作的功 由物理学知道,如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F作用在这物体上,且 这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在 物体移动了距离s时,力F对物体所作的功为 W=F·S 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的,就不能直接使用此公式,而采用“微元法” 思想

由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为 W = F  s. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想. 一、变力沿直线所作的功

例1把一个带+q电量的点电荷放在轴上坐 标原点处,它产生一个电场.这个电场对周围的电 荷有作用力.由物理学知道,如果一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为F的地方,那么电场 对它的作用力的大小为F=k2是常数),当 这个单位正电荷在电场中从r=a处沿r轴移动 到r=b处时,计算电场力F对它所作的功

例 1 把一个带 + q 电量的点电荷放在r 轴上坐 标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电 荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场 对它的作用力的大小为 2 r q F = k （k 是常数），当 这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴移动 到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．

解取r为积分变量, r+d b r∈{a,b, 取任一小区间r,r+M,功元素如、k/k, b 所求功为=2=kt/11 bk 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 tooke k dr=k r

解 取r 为积分变量， o r • + q a  b • •• • • • • + 1 r r [a,b],  r + dr 取任一小区间[r,r + dr], 功元素 , 2 dr r kq dw = 所求功为 dr r kq w b a = 2 b a r kq       = − 1 . 1 1       = − a b kq 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 dr r kq w a + = 2 +       = − a r kq 1 . a kq =

例2一圆柱形蓄水池 高为5米,底半径为 3米,池内盛满了水 问要把池内的水全部 吸出,需作多少功? 解建立坐标系如图 取为积分变量,x∈[0,5 x+dx 取任一小区间x,x+dx]

例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？ 解 建立坐标系如图 x o x 取 x + dx x为积分变量， x[0,5] 取任一小区间[x, x + dx], 5

这一薄层水的重力为 98.32dxc x+dx 功元素为ch=88,2兀·x·dx, 88.2元·x·d 88.2π ≈3462(千焦 2

x o x x + dx 5 这一薄层水的重力为 dx 2 9.8 3 功元素为 dw = 88.2 x  dx, w =  x  dx  88.2 5 0 5 0 2 2 88.2       =  x  3462 (千焦)．

例3用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的阻 力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米,若每次锤击所作的功 相等,问第次锺击时又将铁钉击入多少? 解设木板对铁钉的阻力为f(x)=kx, 第一次锤击时所作的功为n1=/(x)h= 设n次击入的总深度为h厘米 n次锤击所作的总功为wn=f(x)dx

解 设木板对铁钉的阻力为 f (x) = kx, 第一次锤击时所作的功为  = 1 0 1 w f (x)dx , 2 k = ( ) . 0 = h wh f x dx 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻 力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功 相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ n 设 n 次击入的总深度为 h 厘米 n 次锤击所作的总功为

h 2 依题意知,每次锤击所作的功相等 v,=w1→ n 2 2 n次击入的总深度为h=√n, 第n次击入的深度为√n-√n-1

 = h h w kxdx 0 , 2 2 kh = 依题意知，每次锤击所作的功相等． wh = nw1  2 2 kh , 2 k = n h = n, n − n − 1. n 次击入的总深度为 第 n 次击入的深度为

二、水压力 由物理学知道,在水深为处的压强为 P=,这里y是水的比重.如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为处,那么,平板 侧所受的水压力为P=pA 如果平板垂直放置在水中,由于水深不同 的点处压强P不相等,平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式,而采用“微元法”思

由物理学知道，在水深为h 处的压强为 p = h，这里 是水的比重．如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处，那么，平板一 侧所受的水压力为P = p  A． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同 的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思 想． 二、水压力

例4一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水, 设桶的底半径为R,水的比重为y,计算桶的一端面 上所受的压力 解在端面建立坐标系如图 取为积分变量,x∈[0,R 取任一小区间x,x+dx 小矩形片上各处的压强近 似相等P=x, 小矩形片的面积为2√R2-x2dkx

例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， 设桶的底半径为R，水的比重为 ，计算桶的一端面 上所受的压力． 解 在端面建立坐标系如图 x o 取x为积分变量，x[0,R] 取任一小区间[x, x + dx] x x + dx 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片的面积为 2 . 2 2 R − x dx p = x