西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）级数与微分方程（无穷级数）第七节 傅里叶级数

第七节傅里叶级数 问题的提出 二、函数展开成傅里叶级数 三、小结

第七节 傅里叶级数 ◼ 一、问题的提出 ◼ 二、函数展开成傅里叶级数 ◼ 三、小结

问题的提出 1,当-兀≤t<0 非正弦周期函数矩形波u(1)={,” 1,当0≤t<π :-丌: 不同频率正弦波逐个叠加 SIn sin 3t sin 5t sin 7t

一、问题的提出 非正弦周期函数:矩形波 o t u −  1 −1       − −    = t t u t 1, 0 1, 0 ( ) 当 当 不同频率正弦波逐个叠加 sin7 , 7 4 1 sin5 , 5 4 1 sin3 , 3 4 1 sin , 4 t t t  t      

t

u sint 4  =

(sint +sin 3t) 3

sin3 ) 3 1 (sin 4 u t + t  =

u=-(sint+sin 3t+=sin 5t) T 5 0.5 t 2 1

sin5 ) 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t  =

u=-(sint +-sin 3t +=sin 5t +=sin 7t) 3 5 0.5 1

sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t + t  =

u=-(sint +sin 3t +=sin 5t +-sin7t+sin 9*) T 3 5 u(t=-(sint + sin 3t +sin 5t+-sin7t+.) T 3 5 (一π<t<π,t≠0

sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 ( ) + + + +  u t = t t t t (−  t  ,t  0) sin9 ) 9 1 sin7 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t + t + t  =

三角级数三角函数系的正交性 1.三角级数 f(t)=A+∑Asin(n0t+φn)谐波分析 +∑( A sinφnc0snOt+ An, cOS P, sin noot) n-=1 2 09 A sin ( m, b,=A cOS (m, ot=x 0+∑( a. cos nr+ b sinn)三角级数 n=1

二、三角级数 三角函数系的正交性 = +   +   =1 0 ( ) sin( ) n n n f t A A n t 1.三角级数 谐波分析 = +    +    =1 0 ( sin cos cos sin ) n n n n n A A n t A n t +  +  =1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a , 2 0 0 A a 令 = sin , n An n a =  cos , n An n b =  t = x, 三角级数

2.三角函数系的正交性 角函数系 ,coSx,Sinx,c0S2x,sin2x,… cos nX, sInr,… 正交: 任意两个不同函数在[-兀,π上的积分等于零 ∫ cos ndx=0,∫ sinned=0 (n=1,2,3,)

2.三角函数系的正交性 1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x, cos nx,sinnx,  [ , ] . : 任意两个不同函数在 上的积分等于零 正交 −  cos = 0, −   nxdx sin = 0, −   nxdx 三角函数系 (n = 1,2,3, )

「 sinmesinnxdx={0,m≠n, =n ∫0,m≠n cos r cos nra 兀,m=n sin mx cos ndx=0.(其中m,n=1,2,…)

, , 0, sin sin     =  =   − m n m n mx nxdx , , 0, cos cos     =  =   − m n m n mx nxdx sin cos = 0.   − mx nxdx (其中m,n = 1,2, )