西南交通大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十九章 氢原子结构 第四节 氢原子结构的薛定谔方程解

同学们好 样2-L,m"±1 7=3=1.欢t=0 3.=2.批=0 (b)

大学物理 第四节氢原子结构的薛定谔方程解 本节介绍薛定谔方程应用 三维问题 要求:思路,重要结论 、氢原子的量子力学处理方法 1建立方程(电子在核的库仑场中运动) 势函数U=-e 4丌Er 设电子质量m,代入三维定态薛定谔方程 2 Vy+(E-U)y=0 9V+2(E+ e )=0 4汇Er 第2页共25页

大学物理 第2页 共25页 本节介绍薛定谔方程应用 —— 三维问题 ：思路，重要结论 1.建立方程(电子在核的库仑场中运动) 设电子质量 m，代入三维 薛定谔方程 ( ) 0 2 2 2    E U   m  ) 0 4 π ( 2 2 2 2        r e E m  o 得 r e U 0 2 4π 势函数  + - r

大学物理 2 Vy+(E+y=0 4兀E 式中 6 Ox (SIn ar rsin e ae 80 rsin'0 ao 2m (sing) e+ rsin 6 ae a0 rsin*0 ao h 7t 8ol 分离变量 设v(r,O,q)=R(r)O(0)·(q) 第3页共25页

大学物理 第3页 共25页 ) 0 4π ( 2 2 2 2        r e E m o  0 4 π 2 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                 r e E m r r r r r r  分离变量 设(r,,)  R(r)Θ()Φ() 式中 2 2 2 2 2 2 2 x y z          2 2 2 2 2 2 2 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1                    r r r r r r + - x y z O r  

理 y(r,6,)=R(r)6)() 代回原方程化简, 得三个常微分方程: 1dadR、,r2m e (E+ )--21R=0 (sin 6-)+(n )e=0 sine de de sin e d2④ 2+vp=0 (λ,v为分离变量过程中的待定常数) 第4页共25页

大学物理 第4页 共25页 代回原方程化简， 得三个常微分方程: (, 为分离变量过程中的待定常数） ) ] 0 4 π ( 2 ) [ d d ( d 1 d 2 2 2 2 2    R  r r e E m r R r r r o    ) 0 sin ) ( d d (sin d d sin 1 2   Θ  Θ        0 d d 2 2  Φ  Φ   (r,,) R(r)Θ()Φ() + - x y z O r  

大学物理 2.求解过程中为了使波函数满足归一化条件和标准条 件,自然引入三个量子数:n,l,m Vnn(r,6,0)=Rn1(r)m(⊙)①n(q) 主量子数n=123… 角量子数=0,1,2…(m-1)可取n个值 磁量子数m1=0,±1,+2,…±l可取(2+1)个值 tm(9)=⊙m()n(q)称为角诸函数 第5页共25页

大学物理 第5页 共25页 ( , , ) ( ) ( ) ( )  , ,   , ,   l ml ml n l m r  Rn l r Θl Φ 主量子数 n  1,2,3, 角量子数 l  0,1,2,(n 1) 可取 n 个值 磁量子数 m l l  0,1,2, 可取(2l +1)个值 ( , ) ( ) ( ) ,   ,   l ml ml Yl m  l Φ 称为 2. 求解过程中为了使波函数满足归一化条件和标准条 件，自然引入三个量子数 ：n, l, ml

大学物理 3.电子的概率分布 r sin ed P d 概率密度 dr vP=R(r)((0)·(0)P rde 体积元dV=? dv=r sin edrdodo 电子在体积元d中出现的概率 lU2. dv=Rrdrl@. p sine ded 径向概率角向概率 第6页共25页

大学物理 第6页 共25页 z x y O 体积元 dV  ? dV dr r  d rd  r sin  d  r sin  d 概率密度 2 2 | | | R(r)Θ( )Φ() | d sin d d d 2 V  r r 电子在体积元dV中出现的概率 | | d | | d | | sin d d 2 2 2 2  V  R r r ΘΦ 3.电子的概率分布 P dV 2   径向概率 角向概率

大学物理 1)径向概率分布电子在r-r+dr球壳中出现的概率 P(r=R,(r) 122 dr 电子在离核r Rn,(r)|2r2 0.5 不同处,出现的概a n=14=0 0.3 IR. ( r)r? 率不等,某些极1 大值与玻尔轨道 10 15 半径r=n 对应a2 2l=0 n=3l=1 0 说明玻尔理论只 是量子结果不完04=21=1 n=3l=2 全的近似。 1520 核外电子径向概率分布 第7页共25页

大学物理 第7页 共25页 P r R r r r ( ) | n l( )| d 2 2  , 1) 径向概率分布电子在 r — r+dr球壳中出现的概率 电子在离核 r 不同处,出现的概 率不等，某些极 大值与玻尔轨道 半径 说明玻尔理论只 是量子结果不完 全的近似。 r n 2 a1对应

大学物理 2)角向概率分布 P(e,)=Ym(0, o)sine ded o @m(0)m, ()sinededp 电子在某方向上单位立体角内出现的概率对z轴 旋转对称分布 7=0 1=2 =0 珍m=±1 第8页共25页

大学物理 第8页 共25页 2) 角向概率分布 ( ,) ( ,) sin d d 2 ,ml l P  Y ( ) () sin d d 2 , l l Θl m Φm   电子在某方向上单位立体角内出现的概率对 z 轴 旋转对称分布 0 0   ml l 1 2   ml l 0 2   ml l x x x z z z

大学物理 【=0 〓1 0 期=十1 =+2m=+ =0 核外电子的角向概率分布 第9页共25页

大学物理 第9页 共25页

电子在核外不是按一定的轨道运动的,量子力学不能断 言电子一定出现在核外某确切位置,而只给出电子在核外 各处出现的概率,其形象描述—“电子云” 。通款 暈 1s2(mn=03xmn=1)4/(m=1)5f(mn=) 每瞬间氢原子核外电子照片的叠加 电子出现概率大处:雾点密度大 电子出现概率小处:雾点密度小 第10页共25页

大学物理 第10页 共25页 电子在核外不是按一定的轨道运动的,量子力学不能断 言电子一定出现在核外某确切位置,而只给出电子在核外 各处出现的概率,其形象描述——“电子云” 1 2 ( 0) 3 ( 1) 4 ( 1) 5 ( 1) l l l ml s p m p m f m f ——每瞬间氢原子核外电子照片的叠加 电子出现概率小处：雾点密度小 电子出现概率大处：雾点密度大