《统计热力学》第六章 统计热力学基础——Boltzmann统计

§6-2 Boltzmann统计 、定位体系的最概然分布 最概然分布:热力学概率最大的分布或微观状态 数最多的一种分布。 例4个不同粒子(可分辨),在不同能级上分布,体 系总能量3hv,分布如下:

§6-2 Boltzmann统计 一、定位体系的最概然分布 最概然分布： 热力学概率最大的分布或微观状态 数最多的一种分布。 例 4个不同粒子（可分辨）,在不同能级上分布，体 系总能量3h，分布如下：

3hv 2=2h = hv E。=0 ●●● ●● C .=c3 3=C4C1 4!/(1!3:)=4:/(3!1!)=4/(2!1!1:) 12

0 2 3 0 1 2 3 = = = =        h h h t 1 = C4 1 =4!/(1!3!) =4 t 2 = C4 3 =4!/(3!1!) =4 t 3 = C4 1 C3 1 = 4!/(2!1!1!) =12

就一种分布而言,分布的微态数 t N一总粒子数 N一分布于各能级上的粒子数 体系总的微态数为9=∑1=∑ ∏N!

∴ 就一种分布而言，分布的微态数  = i i i N N t ! ! N — 总粒子数 Ni — 分布于各能级上的粒子数 ∴ 体系总的微态数为   =  = i i i N N Ω t ! !

对于由大量粒子组成的体系,=? Boltzmann认为,在所有求和项中,有一项最大,用t表 示,(若只有一种分布时tn=2)则 t<9<nn—求和项数 m hntn≤hg≤hn+htn 对于由大量粒子组成的体系,据摘取最大项原理:

对于由大量粒子组成的体系, =  Boltzmann认为，在所有求和项中，有一项最大，用tm 表 示，(若只有一种分布时tm =Ω）则 n —求和项数 m Ω ntm t   ∴ m m ln t  lnΩ ln n +ln t 对于由大量粒子组成的体系,据摘取最大项原理:

hntm>>hn则ihg≈htn S=khng≈khnt m 问题:tn=? 解决方法:t 求t极值 ∏N!

ln t m  ln n 则 m lnΩ ln t ∴ m S = k lnΩ k ln t 问题： tm = ？ 解决方法： m ! ! t N N t i t i i i = ⎯⎯⎯→  求 极值

Mi 对式t= 两边取对数: ht=hM∑hN!←hM=NhN-N =NhN-N-∑NhN-N NhN-N-∑NhN+∑N(1) t是粒子数的函数,对nt求全微分

两边取对数：  = i i i N N t ! ! 对式 (1) ∵ t 是粒子数的函数，对㏑t 求全微分     = − − + = − − − = − i i i i i i i N N N N N N N N N N N N t N N ln ln ln [ ln ] ln ln ! ln ! ln N!= Nln N −N

dIn t=(Ohn t/aNdN,+(oInt/aN,)dn,+ +(ohn t/aN)dN 0 (2) 定位独立粒子体系,限制条件 巫=N-N=0 或者dN1+dN2+…+dN=0(3)

(2) 定位独立粒子体系，限制条件： 或者 (3) 0 ( ln / ) ln ( ln / ) ( ln / ) m 1 1 2 2 t t i i t N dN d t t N dN t N dN = == +   =   +   +  Φ1 =Ni − N = 0 dN1 + dN2 ++ dNi = 0

=∑N==0 或者∈;dN+∈,dN,+…+∈,dN=0(4) (3)×a+(4)×阝+(2)=(5) (Oh t/aN+a+BE,dN,+ I(Oht/aN2)+a+BE, ]dN,+ (5) +[(ht/OM)a+B∈;]dN=0

或者 (4) (3)α+(4)β+(2)=(5) (5) Φ2 =Ni i −U = 0 1 dN1 +2 dN2 ++i dNi = 0 [( ln / ) ]d 0 [( ln / ) ]d [( ln / ) ]d 2 2 2 1 1 1 +   +  =   + +  +   + +  + Ni i Ni t t N N t N N       

β -Lagrange系数 据 Lagrange乘因子法选择α、β使公式中任两个括 号中值为零,则余下所有括号中值也都为零: (ht/M)+a+B∈1=0 (Oht/MN2)+a+B∈2=0(6 (ht/M)+a+B∈;=0

α、β—Lagrange系数 据Lagrange乘因子法,选择、使公式中任两个括 号中值为零，则余下所有括号中值也都为零： ┆ (6) (ln t / N1 )+ +  1 = 0 (ln t / N2 ) + +  2 = 0 ( ln t / Ni ) + +  i = 0

⑥式中方程形式都相同,以第一个为例求解: 由①式 hnt=NhN-N∑NhN+∑N对N求偏导: (aIn t/aN=In N-Nx I +1=-In n 代入第一个方程(Oht/OM)+a+B∈1=0 得到a+β∈1=hM1

⑥式中方程形式都相同，以第一个为例求解： 对N1 求偏导： 由①式 代入第一个方程 得到 (ln t / N1 )++β 1 = 0 1 1 + = ln N = N N − N −Ni Ni +Ni ln t ln ln i i i i N N t N N N 1 ln 1 ( ln /  1 ) = −ln −  + = −