西南交通大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十八章 波函数和薛定谔方程

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大学物理 背八章的数和锌谔方程」 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态,波函数 所遵从的方程—薛定谔方程是量子力学的基本方程 波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设 第一节波函数与算符 微观粒子的运动状态描述一波函数 波函数:描述微观客体的运动状态,是概率波的 数学表达形式。 y(,t)=(x,y,z,)一般表示为复指数函数形式 第2页共45页

大学物理 第2页 共45页 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数 所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。 波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设。 第十八章 波函数和薛定谔方程 第一节 波函数与算符 一、微观粒子的运动状态描述----波函数 波函数： 描述微观客体的运动状态，是概率波的 数学表达形式。  (r,t) = (x, y,z,t)  一般表示为复指数函数形式

大学物理 例:一维自由粒子的波函数 自由粒子:不受任何其它势场或粒子的作用 经典描述:沿x轴匀速直线运动 量子描述:E,p守恒;vλ确定 类比:单色平面波 λ一定沿直线传播 以坐标原点为参考点, 设=0,波以速率沿+x方向传播。 第3页共45页

大学物理 第3页 共45页 例： 一维自由粒子的波函数 经典描述： 沿 x 轴匀速直线运动 量子描述： E p守恒；， 确定  , 类比： 单色平面波  ,  一定 沿直线传播 自由粒子：不受任何其它势场或粒子的作用 以坐标原点为参考点， 设0 = 0，波以速率u沿+ x方向传播

大学物理 Y=Yo coso(t-)=Yo cos 2(Vt X Y0cos2π(,t Yo COS(Et-pxx) h h/ y(x,1)=yeh2x)(取实部) 推广:三维自粒子波函数v(7)=yea4n 意义:波函数(:,)=0e"确定了微观粒子运 动的全部力学性质。 第4页共45页

大学物理 第4页 共45页 cos ( ) cos2 π( ) 0 0    x Ψ t u x Ψ =Ψ t − = − cos2 π ( ) 0 h p x t h E =Ψ − ( ) 1 cos 0 Et p x x = −    ( ) 0 ( , ) e Et p x i x Ψ x t Ψ − −  =  （取实部） 推广 ：三维自由粒子波函数 ( ) 0 ( , ) e Et p r i Ψ r t Ψ     − −  = 意义：波函数 确定了微观粒子运 动的全部力学性质。 ( ) 0 ( , ) e Et p r i Ψ r t Ψ     − −  =

大学物理 2.波函数的强度—模的平方 P2=y波函数与其共轭复数的积 例:一维自由粒子: (Et-Pr.x) +(Et-Pr x y(x,)=v.y=如eh 0 第5页共45页

大学物理 第5页 共45页 2. 波函数的强度——模的平方 2 * |Ψ | =Ψ Ψ 波函数与其共轭复数的积 例：一维自由粒子： ( ) 0 ( ) 0 2 * | ( , )| Et p x h i E t p x i x x Ψ x t Ψ Ψ Ψ e Ψ e − −  + −  =  =   2 = Ψ0

大学物理 第二节波函数的统计解释 经典物理中波函数具有描述空间振动状态的确切意 义对于微观客体,其状态由波函数完全确定。 问题:波函数有什么样的物理意义? 类x 比 电 屏蔽 平板 光栅衍射 电子衍射 第6页共45页

大学物理 第6页 共45页 光栅衍射 电子衍射 类 比 第二节 波函数的统计解释 经典物理中波函数具有描述空间振动状态的确切意 义对于微观客体，其状态由波函数完全确定。 问题：波函数有什么样的物理意义？

光栅衍射 电子衍射 大学物理 2 Ⅰ∝Bo Ⅰ=Mhv∝N 1∞N 处到达光子数多电子到达该处概率大 Ⅰ小处到达光子数少小电子到达该处概率小 =0无光子到达1=0电子到达该处概率为零 各光子起点、终点、路各电子起点、终点、路径 径均不确定 均不确定 用对屏上光子数分布用P对屏上电子数分布 作概率性描述 作概率性描述 第7页共45页

大学物理 第7页 共45页 2 E0 I  2 I |Ψ| I = Nh  N I  N I大处 到达光子数多 I小处 到达光子数少 I=0 无光子到达 各光子起点、终点、路 径均不确定 用 I 对屏上光子数分布 作概率性描述 各电子起点、终点、路径 均不确定 2 用|Ψ | 对屏上电子数分布 作概率性描述 I大 电子到达该处概率大 I=0电子到达该处概率为零 I小 电子到达该处概率小 光栅衍射 电子衍射

大学物理 般,t时刻,到达空间r(x,y2)处附近某体积d内的 粒子数 dN∝N|yPd y(x,y,E,t)i- la. dN N·d y(x,y,z,1)P的物理意义: >t时刻,出现在空间(x,;z)点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比。 >t时刻,粒子出现在空间(x,2)点附近单位体积 内的概率。 >t时刻,粒子在空间的概率密度分布。 第8页共45页

大学物理 第8页 共45页 ➢ t 时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比。 ➢ t 时刻，粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积 内的概率。 ➢ t 时刻，粒子在空间的概率密度分布。 dN N |Ψ | dV 2    N V N Ψ x y z t Ψ Ψ d d | ( , , , ) | * 2  =   一般, t 时刻, 到达空间 r (x,y,z)处附近某体积dV内的 粒子数 2 |Ψ(x, y,z,t) | 的物理意义：

大学物理 注意①物质波的波函数不描述介质中运动状 态(相位)传播的过程 ②有意义的不是本身,而是yP yP2:概率密度,描述粒子在空间的统计分布 y:概率幅 ③重要的不是{yP的绝对大小,而是在空间 各点的相对大小比值,Cy和ψ描述同一概率波 ④Y遵从叠加原理 y=7+ yP=H+22=·%*+望2平2*华平2*+华* 干涉项 第9页共45页

大学物理 第9页 共45页  物质波的波函数不描述介质中运动状 态(相位)传播的过程  有意义的不是Ψ本身，而是|Ψ | 2 ， | | : 2  概率密度，描述粒子在空间的统计分布  : 概率幅 注意  各点的相对大小比 值 ， 和 描述同一概率波 重要的不是 的绝对大小，而是 在空间 CΨ Ψ Ψ Ψ ( ) | | | | 2 2 Ψ遵从叠加原理  =1 +2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 | | =| + | =  *+  *+  *+ *  干涉项

大学物理 4波函数的归一化条件和标准条件 ①归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1 dw ∫dN_N y dv Ndv N ②标准条件 y是单值、有限、连续的 对微观客体的量子力学描述: 脱离日常生活经验,避免借用经典语言引起的表观 矛盾,将波粒二象性统一到一起。 第10页共45页

大学物理 第10页共45页 4.波函数的归一化条件和标准条件 粒子在整个空间出现的概率为1 1 d d d d | | d 2 =  = = =    N N N N V N V N V V V   归一化条件 对微观客体的量子力学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观 矛盾，将波粒二象性统一到一起。 Ψ是单值、有限、连续的。  标准条件