中国科学技术大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）概率论与数理统计讲义（共六章）

概率论与数理统计讲义 中国科学技术大学统计与金融系概率统计教研室 2008年4月

VÇ؆ênÚOù ¥I‰ÆEâŒÆÚO†7KXVÇÚOï¿ 2008c4

目录 第一章事件与概率 1 1.1概率论发展简史 1 1.2概率论的几个基本概念 1 1.2.1随机试验和随机事件 1 $1.2.2 事件的运算 2 1.2.3概率的定义及性质 4 $1.2.4 条件概率 6 $1.2.5全概率公式和Bayes公式 8 $1.2.6 事件的独立性 10 第二章 随机变量及其分布 13 2.1随机变量的概念 13 $2.2离散型随机变量 14 $2.2.10-1分布 15 2.2.2二项分布 16 2.2.3 Poisson分布 16 $2.2.4离散的均匀分布 18 $2.3连续型随机变量 18 $2.3.1正态分布 21 $2.3.2指数分布 22 $2.3.3均匀分布 24 2.4多维分布 24 2.5边缘分布 28 2.6条件分布和随机变量的独立性 29 $2.6.1条件分布 29 2.6.2随机变量的独立性 32 2.7随机变量的函数的概率分布 33 第三章随机变量的数字特征 41 $3.1数学期望（均值）及中位数 42 3.1.1数学期望 42 3.1.2数学期望的性质 44 $3.1.3条件期望 45 3.1.4中位数 47 3.2方差、标准差和矩 48 $3.2.1方差和标准差 48 3.2.2矩 50

8 ¹ 1Ù ¯‡†VÇ 1 §1.1 VÇØuÐ{¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2 VÇØA‡ÄVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2.1 ‘ÅÁڑů‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2.2 ¯‡$Ž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 §1.2.3 VǽÂ95Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §1.2.4 ^‡VÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §1.2.5 VÇúªÚBayesúª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §1.2.6 ¯‡Õá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1Ù ‘ÅCþ9Ù©Ù 13 §2.1 ‘ÅCþVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §2.2 lÑ.‘ÅCþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 §2.2.1 0-1©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §2.2.2 ‘©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 §2.2.3 Poisson©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 §2.2.4 lÑþ!©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §2.3 ëY.‘ÅCþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §2.3.1 ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 §2.3.2 ê©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 §2.3.3 þ!©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2.4 õ‘©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2.5 >©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 §2.6 ^‡©ÙڑÅCþÕá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §2.6.1 ^‡©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §2.6.2 ‘ÅCþÕá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 §2.7 ‘ÅCþ¼êVÇ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1nÙ ‘ÅCþêiA 41 §3.1 êÆÏ"(þŠ)9¥ ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3.1.1 êÆÏ" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3.1.2 êÆÏ"5Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 §3.1.3 ^‡Ï" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §3.1.4 ¥ ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 §3.2 !IOÚÝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 §3.2.1 ÚIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 §3.2.2 Ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 i

3.3协方差和相关系数 50 $3.3.1协方差 50 3.3.2相关系数 51 3.4其他一些数字特征与相关函数 52 3.5大数定律和中心极限定理 54 $3.5.1大数定律 54 3.5.2中心极限定理 55 第四章数理统计的基本概念及抽样分布 58 4.1引言 58 4.1.1什么叫数理统计学 58 4.1.2数理统计学的应用 61 $4.1.3统计学发展简史 63 4.2数理统计的若干基本概念 64 $4.2.1总体和样本 64 4.2.2样本的两重性和简单随机样本 66 $4.2.3统计模型 67 $4.2.4统计推断 68 $4.3统计量 69 $4.3.1统计量的定义 69 4.3.2若干常用的统计量 70 4.4三大分布一x2,t,F分布及正态总体样本均值和样本方差的分布 71 $4.4.1x2分布 71 $4.4.2t分布 73 $4.4.3F分布 74 4.4.4正态总体样本均值和样本方差的分布 76 4.4.5几个重要推论 76 第五章参数估计 79 $5.1点估计 79 $5.1.1矩估计方法 79 5.1.2极大似然估计方法 81 5.1.3点估计的优良准则 85 $5.2区间估计 86 $5.2.1置信区间 87 5.2.2置信界 89 5.2.3确定样本大小 90 ii

§3.3 ڃ'Xê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3.3.1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3.3.2 ƒ'Xê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 §3.4 Ù¦ êiA†ƒ'¼ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 §3.5 Œê½ÆÚ¥%4½n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 §3.5.1 Œê½Æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 §3.5.2 ¥%4½n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1oÙ ênÚOÄVg9Ä©Ù 58 §4.1 Úó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 §4.1.1 ŸoênÚOÆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 §4.1.2 ênÚOÆA^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 §4.1.3 ÚOÆuÐ{¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §4.2 ênÚOeZÄVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 §4.2.1 oNÚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 §4.2.2 ü­5Ú{ü‘Å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 §4.2.3 ÚO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 §4.2.4 ÚOíä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 §4.3 ÚOþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 §4.3.1 ÚOþ½Â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 §4.3.2 eZ~^ÚOþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 §4.4 nŒ©Ù—χ 2 , t, F©Ù9oNþŠÚ©Ù . . . . . . 71 §4.4.1 χ 2©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 §4.4.2 t©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 §4.4.3 F©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 §4.4.4 oNþŠÚ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 §4.4.5 A‡­‡íØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1ÊÙ ëêO 79 §5.1 :O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 §5.1.1 ÝO{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 §5.1.2 4Œq,O{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 §5.1.3 :O`ûOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 §5.2 «mO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 §5.2.1 &«m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 §5.2.2 &. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 §5.2.3 (½Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 ii

第六章假设检验 91 6.1基本概念和问题的提法 91 6.1.1零假设，对立假设，两类错误，拒绝域，显著性水平，功效 91 $6.1.2假设检验问题的提法 93 6.1.3检验统计量的选取及假设检验的步骤 94 6.2重要参数检验 95 6.2.1一样本正态总体均值和方差的检验 95 $6.2.2两样本正态总体的情形 99 $6.2.3成对数据 101 6.2.40-1分布中未知参数p的假设检验 102 $6.3拟合优度检验 103 $6.3.1离散总体情形 103 6.3.2列联表的独立性和齐一性检验 105 6.3.3连续总体情形 107 iii

18Ù bu 91 §6.1 ÄVgÚ¯KJ{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 §6.1.1 "b, éáb, üa†Ø, áý, wÍ5Y², õ . . . . . . . 91 §6.1.2 bu¯KJ{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 §6.1.3 uÚOþÀ9buÚ½ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 §6.2 ­‡ëêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 §6.2.1 oNþŠÚu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 §6.2.2 üoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 §6.2.3 ¤éêâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 §6.2.4 0-1 ©Ù¥™ëêp bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 §6.3 [Ü`Ýu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 §6.3.1 lÑoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 §6.3.2 éLÕá5Úà5u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 §6.3.3 ëYoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 iii

第一章事件与概率 教学目的: 1)掌握随机事件的概念和相关运算 2)了解概率的不同定义,掌握古典概型的基本计算. 3)掌握条件概率的概念,熟练运用全概率公式和 Bayes公式. 4)掌握事件独立的概念和有关运算. §1.1概率论发展简史 概率论起源于17世纪,现在公认是1654年 PascalFermat与就赌博中的数学问题所展 开的讨论,在讨论中提出了一些基本概念,最典型的例子是如何分赌本的问题.两个赌 徒相约赌若干局,谁先赢s局就算谁赢由此提出期望的概念.之后几个数学大家 Huygens Bernouli,j, De Moivre等研究了这个问题, Bernouli对频率与概率接近这一事实给予了 理论上的阐述.1812年 Laplace在《分析概率论》中最早叙述了概率论的几个基本定理, 给出了古典概率的明确定义.1814年在《概率的哲学探讨》一书中,记载了一个有趣的统 计故事,根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料,得出几乎一致的男婴和女婴出生 的比例为22:21,即男婴比例为51.16%,或男婴与女婴的比值为104.76:100,可是统计1745- 1784年整整40年巴黎男婴的出生率时,得到的比例为25:24(104.17:100),调查研究后发现 巴黎人有遗弃男婴的陋习.1900年 Hilbert第二届世界数学家大会上提出了23个有名的 问题,主体是对新世纪数学发展方向的探讨关于建立概率论的公理体系是他所提的 第六个问题“借助公理来研究那些在其中数学起重要作用的物理科学;首先是概率和力 学”.随后 Poincare, Borel等都对概率论公理体系的建立做出了努力,1933年苏联的大数 学家 Kolmogorov103-1987)正式提出了概率论的公理体系概率论从此得到迅速的发展, 在此基础上,数理统计也得到了迅速的发展 §1.2概率论的几个基本概念 1.2.1随机试验和随机事件 随机现象:自然界中的客观现象,当人们观测它时所得结果不能预先确定,而仅仅 是多种可能结果之一 1

1Ù ¯‡†VÇ Æ8µ 1) ݺ‘ů‡Vgڃ'$Ž. 2) )VÇØӽ§ݺ;V.ÄOŽ. 3) ݺ^‡VÇVg§Ùö$^VÇúªÚBayesúª. 4) ݺ¯‡ÕáVgÚk'$Ž. §1.1 VÇØuÐ{¤ VÇØå u17­V, y3ú@´1654cPascal†FermatÒÙÆ¥êƯK¤Ð m?Ø, 3?Ø¥JÑ ÄVg, ;.~f´XÛ©Ù¯K. ü‡Ù äƒÙeZÛ, XkIsÛҎXI. ddJÑÏ"Vg. ƒ￾A‡êƌ[Huygens, Bernouli, J, De Moivre ïÄ ù‡¯K, Bernouli éªÇ†VÇCù¯¢‰ƒ nØþã. 1812cLaplace 35©ÛVÇØ6¥@Qã VÇØA‡Ä½n, ‰Ñ ;VDz(½Â. 1814c35VÇóÆ&?6Ö¥, P1 ‡kÚ O¯, ŠâÔí!*!yÚ{IÚO], ÑAI?Úå?Ñ) '~22:21, =I?'~51.16%, ½I?†å?'Š104.76:100, Œ´ÚO1745- 1784c40cniI?Ñ)Ǟ, '~25:24 (104.17:100), NïÄ￾uy ni<k¢ïI?§S. 1900cHilbert 313­.êÆ[Œ¬þJÑ 23‡k¶ ¯K, ÌN´é#­VêÆuА•&?. 'uïáVÇØúnNX´¦¤J 18‡¯K“/Ïún5ïÄ@ 3Ù¥êÆ孇Š^Ôn‰Æ; Äk´VÇÚå Æ”. ‘￾Poincare, BorelÑéVÇØúnNXïá‰Ñ ãå, 1933c€éŒê Æ[Kolmogorov(1903-1987)ªJÑ VÇØúnNX. VÇØldׄuÐ, 3dÄ:þ, ênÚO ׄuÐ. §1.2 VÇØA‡ÄVg §1.2.1 ‘ÅÁڑů‡ ‘Åy: g,.¥*y, <‚*ÿ§ž, ¤(JØUýk(½, == ´õ«ŒU(Jƒ. 1

举例说明随机现象 随机试验:随机现象的实现和对它某个特征的观测 随机试验中要求试验的结果至少2个,每次试验或观测得到其中的一个结果,在试 验和观测之前不能预知是哪个结果发生。此外,要求在相同的条件下能重复试验 如观测把硬币抛次后正面向上的次数;观测某地的温度变化:某电话总机单位时间 内转接的电话次数 定义1.2.1.基本事件:随机试验中的每个单一结果,它犹如分子中的原子,在化学反应 中不能再分,所以有“基本”两字 如把硬币抛3次后有8种可能结果:正正正、正正反、正反正、反正正、正反反、反正 反、反反正、反反反.这8种可能结果的每一个都是基本事件 定义1.2.2.随机事件:简称事件,在随机试验中我们所关心的可能出现的各种结果,它 由一个或若干个基本事件组成 随机事件常用大写英文字母A,B,C,D等表示.如果用语言表达,则要用花括号括起 来. 定义12.3.样本空间:随机试验中所有基本事件所构成的集合,通常用9或S表示 例1.2.1.掷一枚骰子,观察出现的点数.则Ω={1,2,3,4,5,6} 例1.22.考察某一地区的年降雨量,则Ω={x≤x<T},这里T表示某个常数,表示 降雨量不会超过 定义1.2.4.必然事件(2):在试验中一定会发生的事件 不可能事件(φ):在试验中不可能发生的事件 §122事件的运算 可以证明,把样本空间中的基本事件与空间中的点相对应,则事件与集合相对应,因 此事件运算与集合运算可以建立一一对应关系

Þ~`²‘Åy. ‘ÅÁ: ‘Åy¢yÚé§,‡A*ÿ. ‘ÅÁ¥‡¦Á(J2‡§zgÁ½*ÿÙ¥‡(J§3Á Ú*ÿƒcØUý´=‡(Ju)"d §‡¦3ƒÓ^‡eU­EÁ" X*ÿrM14g￾¡•þgê; *ÿ,/§ÝCz; ,>{oÅü žm S=>{gê. ½Â 1.2.1. į‡: ‘ÅÁ¥z‡ü(J, §gX©f¥f, 3zƇA ¥ØU2©, ¤±k“Ä”üi. XrM13g￾k8«ŒU(J: !‡!‡!‡!‡‡!‡ ‡!‡‡!‡‡‡. ù8«ŒU(Jz‡Ñ´Ä¯‡. ½Â 1.2.2. ‘ů‡: {¡¯‡, 3‘ÅÁ¥·‚¤'%ŒUÑyˆ«(J, § d‡½eZ‡Ä¯‡|¤. ‘ů‡~^Œ=©i1A, B, C, DL«. XJ^ŠóLˆ, K‡^s)Ò)å 5. ½Â 1.2.3. m: ‘ÅÁ¥¤kį‡¤¤8Ü, Ï~^Ω½SL«. ~ 1.2.1. •qf, * Ñy:ê. K Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ~ 1.2.2.  ,/«cü…þ, K Ω = {x|0 ≤ x < T}, ùp T L«,‡~ê, L« ü…þج‡L T. ½Â 1.2.4. 7,¯‡(Ω): 3Á¥½¬u)¯‡; ،U¯‡(φ): 3Á¥ØŒUu)¯‡. §1.2.2 ¯‡$Ž Œ±y², rm¥Ä¯‡†m¥:ƒéA, K¯‡†8܃éA, Ï d¯‡$Ž†8Ü$ŽŒ±ïáéA'X. 2

子事件AcB:事件A发生蕴含事件B一定发生,则事件A称为事件B的子事件,记 为ACB.若ACB,且BCA,则称事件A与事件B相等,记为A=B 2.事件的和(AUB):事件A和事件B中至少有一个发生的这一事件称为事件A和事 件B的和,记为A∪B 3.事件的积(A∩B):事件A和事件B同时发生这一事件称为事件A和事件B的积,记 为A∩B. 如果A∩B=,则称A和B不相容,即事件A和B不能同时发生 4.对立事件A(或A):A不发生这一事件称为事件A的对立事件(或余事件)

1. f¯‡A ⊂ B: ¯‡Au)%¹¯‡B½u), K¯‡A¡¯‡Bf¯‡, P A ⊂ B. eA ⊂ B, …B ⊂ A, K¡¯‡A†¯‡Bƒ, PA = B. 2. ¯‡Ú(A ∪ B) : ¯‡AÚ¯‡B¥k‡u)ù¯‡¡¯‡AÚ¯ ‡BÚ, PA ∪ B. 3. ¯‡È(A ∩ B) : ¯‡AÚ¯‡BӞu)ù¯‡¡¯‡AÚ¯‡BÈ, P A ∩ B. XJA ∩ B = φ, K¡AÚB؃N, =¯‡AÚBØUӞu). 4. éᯇAc (½A¯): AØu)ù¯‡¡¯‡Aéᯇ(½{¯‡) . 3

5.事件A和事件B的差A-B:事件A发生而事件B不发生这一事件称为事件A和事件B的 差,记为A-B,或等价的,AB De morgan对偶法则 AUB=A∩B. A∩B=AUB 上面公式可以推广到n个事件 A=∩互 ∩A2=∪ =1 §123概率的定义及性质 1.概率的定义 什么叫概率?直观地讲,概率是随机事件发生可能性大小的数字表征,其值在0和1之 间,换句话说,概率是事件的函数如何求出事件A的概率(记为P(A)? (1)古典概型:有两个条件, 第一,(有限性)试验结果只有有限个(记为n) 第二,(等可能性)每个基本事件发生的可能性相同 为计算事件A的概率,设A中包含m个基本事件,则定义事件A的概率为 P(a 记号:为方便起见,以#(B)记事件B中基本事件的个数,因此, P(4)=≠(4) #()

5. ¯‡AÚ¯‡BA−B: ¯‡Au) ¯‡BØu)ù¯‡¡¯‡AÚ¯‡B , PA − B, ½d, ABc . De Morganéó{K: A ∪ B = A¯ ∩ B, ¯ A ∩ B = A¯ ∪ B, ¯ þ¡úªŒ±í2n‡¯‡: [n i=1 Ai = \n i=1 A¯ i \n i=1 Ai = [n i=1 A¯ i §1.2.3 VǽÂ95Ÿ 1. Vǽ ŸoVÇ? †*/ù, VÇ´‘ů‡u)ŒU5ŒêiL, ي30Ú1ƒ m, †é{`, VÇ´¯‡¼ê. Xۦѯ‡AVÇ(PP(A))? (1) ;V.: kü‡^‡, 1, (k5) Á(Jkk‡(Pn) , 1, (ŒU5) z‡Ä¯‡u)ŒU5ƒÓ. OŽ¯‡AVÇ, A¥¹m‡Ä¯‡, K½Â¯‡AVǏ P(A) = m n PÒ: B儧±#(B)P¯‡B¥Ä¯‡‡ê§Ïd§ P(A) = #(A) #(Ω) 4

(2)概率的统计定义 古典概型的两个条件往往不能满足,此时如何定义概率?常用的一种方法是把含 有事件A的随机试验独立重复做n次( Bernouli试验),设事件A发生了nA次,称比值m为 事件A发生的频率,当n越来越大时,频率会在某个值p附近波动,且波动越来越小,这个 值p就定义为事件A的概率 注意:为什么不能写为imn→mA=p?因为m不是n的函数 几个例子:英文字母被使用的频率是相当稳定的;福尔摩斯探案集第四本《跳舞的 小人》,福尔摩斯用频率破了丘比特和埃尔茜之间联络密码;1872年英国人Shi,W把π算 到707位,19445-195.3数学家法格逊认为m的小数位的数字对0到9应该是等可能的,但核 对Shir的结果发现数字7太少,故对Shi的结果有怀疑,重新计算发现前527位是正确的, 后面不对了.计算机出现后,法国人让盖尤计算了m的前100万位小数,发现各个数字出 现的频率相同. (3)主观概率 关于概率的统计定义,我们可能会想到,如果试验不能在相同的条件下独立重复很 多次时该怎么办?还有人们常谈论种种事件出现机会的大小,如某人有80%的可能性办 成某事.如某人有80%的可能性办成某事另一人则认为仅有50%的可能性.即我们常常 会拿一个数字去估计这类事件发生的可能性,而心目中并不把它与频率挂钩.这种概率 称为主观概率,这类概率有相当的生活基础.在金融和管理等方面有大量的应用,这 学派称为 Bayes学派,近来得到越来越多的认可.但是当前用频率来定义概率的频率派 仍是数理统计的主流.焦点是频率派认为概率是客观存在,不可能因人而异 (4)概率的公理化定义 对概率运算规定一些简单的基本法则, (i)设A是随机事件,则0≤P(4)≤1, (i)设9为必然事件,则P(92)=1, (i)若事件A和B不相容,则P(AUB)=P(A)+P(B) 为了对可数无穷个事件仍能成立,我们要把上面公式中的两个事件推广到可数无穷个两 两不相容的事件序列 P∪A=∑P(A) 2.古典概率计算的几个例子 计算古典概率,主要用到排列组合的知识

(2) VÇÚO½Â ;V.ü‡^‡ ØU÷v, džXÛ½ÂVÇ? ~^«{´r¹ k¯‡A‘ÅÁÕá­E‰ng(BernouliÁ) , ¯‡Au) nAg, ¡'ŠnA n  ¯‡Au)ªÇ, n5Œž, ªÇ¬3,‡ŠpNCÅÄ, …ÅÄ5, ù‡ Špҽ¯‡AVÇ. 5¿: ŸoØUlimn→∞ nA n = p? ϏnA n Ø´n¼ê. A‡~f: =©i1¦^ªÇ´ƒ­½; 4d&Y81o5aÍ <6, 4d^ªÇ» £'AÚD0ƒméäè; 1872c=I<Shix, W rπŽ 707 , 1944.5-1945.3êÆ[{‚Ö@πê êié09AT´ŒU, Ø éShix(Juyêi7, éShix(Jk~¦, ­#OŽuyc527 ´(, ￾¡Øé . OŽÅÑy￾, {I<4.XcOŽ πc100 ê, uyˆ‡êiÑ yªÇƒÓ. (3) Ì*VÇ 'uVÇÚO½Â, ·‚ŒU¬Ž, XJÁØU3ƒÓ^‡eÕá­Eé õgžTNo? „k<‚~!Ø««¯‡ÑyŬŒ, X,<k80%ŒU5 ¤,¯. X,<k80%ŒU5¤,¯.,<K@=k50%ŒU5. =·‚~~ ¬<‡êiOùa¯‡u)ŒU5, %8¥¿Ør§†ªÇ!. ù«VÇ ¡Ì*VÇ, ùaVÇkƒ)¹Ä:. 37KÚ+n¡kŒþA^, ù Æ￾¡Bayes Æ￾, C55õ@Œ. ´c^ªÇ5½ÂVǪÇ￾ E´ênÚOÌ6. ￾:´ªÇ￾@VÇ´*3§ØŒUÏ< É. (4) VÇúnz½Â éVÇ$Ž5½ {üÄ{K, (i) A ´‘ů‡, K0 ≤ P(A) ≤ 1, (ii) ُ7,¯‡, KP(Ω) = 1, (iii) e¯‡AÚB؃N, KP(A ∪ B) = P(A) + P(B),  éŒêᇯ‡EU¤á, ·‚‡rþ¡úª¥ü‡¯‡í2Œêá‡ü ü؃N¯‡S P( [∞ i=1 Ai) = X∞ i=1 P(Ai) 2. ;VÇOŽA‡~f OŽ;VÇ, ̇^ü|Ü£. 5

复习选排列,重复排列和组合公式有关知识 例1.23.一个班有r个人,不计2月29日出生的(即假定一年为365天),问至少有两人同 一天生日的概率是多少? 要点:(1)本问题中的样本空间是什么?(2)重复排列,(3)先计算余事件 例1.2.4.盒中有32只红球,{只白球,从中任摸2球,求两球中至少有一个白球的概率 要点:(1)样本空间可以考虑为所有可能的组合,也可以考虑为所有可能的选排列 有些问题中只能考虑其中之一,具体问题具体分析, (2)本题可以直接计算随机事件的概率,也可以先计算对应的余事件的概率,然后得 到所需事件的概率 8124条件概率 1.条件概率的定义 般讲,条件概率就是在知道了一定的信息下所得到的随机事件的概率.如两个 工厂A和B生产同一品牌的电视机,商场中该品牌有个统一的次品率,比如0.5%,如果你 从某个途径知道该商场的这批电视机是A厂生产的,则你买到的电视机的次品率不再 是0.5%,而应该比0.5%要小,这个概率就是条件概率,即你在知道了这批电视机是A厂生 产的附加条件下的概率就是条件概率 保险中应用的存活人数死亡率也是条件概率 定义1.2.5.设事件A和B是随机试验!中的两个事件,P(B)>0,称 P(AB) P(AB) P(B) 为事件B发生条件下事件A发生的条件概率 注121.P(A)和P(A|B)是不同的两个概率.如图,设矩形A的面积为1,则P(A表示A的 面积,而P(A|B)表示在B中,A所占的比例,即AB这块面积在B中所占的比例

ESÀü, ­EüÚ|Üúªk'£. ~ 1.2.3. ‡kr‡ÀÅ, û|¥T¬ýk‡Úg¬Ç, 'X0.5%, XJ\ l,‡å»Tû|ù1>ÀÅ´A‚), K\ï>ÀÅg¬ÇØ2 ´0.5%, AT'0.5%‡, ù‡VÇÒ´^‡VÇ, =\3 ù1>ÀÅ´A‚) N\^‡eVÇÒ´^‡VÇ. x¥A^¹ 0 , ¡ P(A|B) = P(AB) P(B) ¯‡Bu)^‡e¯‡Au)^‡VÇ. 5 1.2.1. P(A)ÚP(A|B) ´ØÓü‡VÇ. Xã, Ý/A¡È1, KP(A)L«A ¡È, P(A|B)L«3B¥, A¤Ó'~, =ABù¬¡È3B¥¤Ó'~. 6