浙江大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 命题逻辑（1.1.3）谓词与量词 Predicates and Quantifiers

Predicates and Quantiflers 调词与量词 113谓词与量词 Predicates and quantifiers 2/24/202111:37PM Deren Chen, ZheJiang Univ

P redica t es a nd Qua nt if iers 谓词与量词 2/24/2021 11:37 PM Deren Chen, ZheJiang Univ. 1 1.1.3 谓词与量词 Predicates and Quantifiers

Predicates and Quantiflers 调词与量词 前两节介绍的命题与命题演算是命题逻辑的内容,其基本组成单位是原 子命题。一般地,原子命题作为具有真假意义的句子至少由主语和谓语两 部分组成。 例如,电子商务是计算机技术的一个应用系统,这里“电子商务”是主 语,而“是……”是谓语。当主语改变为“电子政务”时就得到新的原子命题: 电子政务是计算机技术的一个应用系统。 2/24/202111:37PM Deren Chen, ZheJiang Univ 2

P redica t es a nd Qua nt if iers 谓词与量词 2/24/2021 11:37 PM Deren Chen, ZheJiang Univ. 2 前两节介绍的命题与命题演算是命题逻辑的内容，其基本组成单位是原 子命题。一般地，原子命题作为具有真假意义的句子至少由主语和谓语两 部分组成。 例如，电子商务是计算机技术的一个应用系统，这里“电子商务”是主 语，而“是……”是谓语。当主语改变为“电子政务”时就得到新的原子命题： 电子政务是计算机技术的一个应用系统

Predicates and Quantiflers 调词与量词 由此可知,主语是独立存在的个体,而谓语用来描述该个 体的性质或个体间的关系,这里我们称其为谓词。用P表示谓 词“是……”。则P(电子商务)或P(电子政务)分别等值于 前述两个命题的表达。将个体用变量(称为个体变量)x推广, 则P(x)表示:x是计算机技术的一个新的应用系统。这时该 语句就不是一个命题,而是一个命题函数。 2/24/202111:37PM Deren Chen, ZheJiang Univ 3

P redica t es a nd Qua nt if iers 谓词与量词 2/24/2021 11:37 PM Deren Chen, ZheJiang Univ. 3 由此可知，主语是独立存在的个体，而谓语用来描述该个 体的性质或个体间的关系，这里我们称其为谓词。用P表示谓 词“是……”。则P（电子商务）或P（电子政务）分别等值于 前述两个命题的表达。将个体用变量（称为个体变量）x推广， 则P（x）表示：x是计算机技术的一个新的应用系统。这时该 语句就不是一个命题，而是一个命题函数

DEFINITION 1 Predicates and Quantiflers 调词与量词 定义一个谓词P连同相关的n(n0)个个体变量组成的表 达式称为n元谓词( n-predicate),记P(x1,x2y…,xn),其中 n是该表达式中不同个体变量的数目。n元谓词也称简单命题 函数,将简单命题函数视为命题,按111节定义10得到的递 归定义的表达式称为复合命题函数。简单命题函数和复合命 题函数,统称为命题函数( proposition function) 2/24/202111:37PM Deren Chen, ZheJiang Univ

P redica t es a nd Qua nt if iers 谓词与量词 2/24/2021 11:37 PM Deren Chen, ZheJiang Univ. 4 定义 一个谓词P连同相关的n（n≥0）个个体变量组成的表 达式称为n元谓词（n-predicate），记P（x1 , x2 , …, xn），其中 n是该表达式中不同个体变量的数目。n元谓词也称简单命题 函数，将简单命题函数视为命题，按1.1.1节定义10得到的递 归定义的表达式称为复合命题函数。简单命题函数和复合命 题函数，统称为命题函数（proposition function）。 DEFINITION 1

EXAMPLE1 Predicates and Quantiflers 调词与量词 Let p(x)denote the statement"x>3. What are the truth values of P(4) andP(2)? P(4)=.T P(2)=F 2/24/202111:37PM Deren Chen, ZheJiang Univ

P redica t es a nd Qua nt if iers 谓词与量词 2/24/2021 11:37 PM Deren Chen, ZheJiang Univ. 5 EXAMPLE 1 Let P(x) denote the statement "x > 3." What are the truth values of P(4) and P(2)? P (4) = .T. P (2) = .F

EXAMPLE2 Predicates and Quantiflers 调词与量词 Let Q(x, y) denote the statement" x=y+3. What are the truth values of the propositions Q(1,2)andQ(3,0)? Q(12)=F Q(3,0)=.T 2/24/202111:37PM Deren Chen, ZheJiang Univ

P redica t es a nd Qua nt if iers 谓词与量词 2/24/2021 11:37 PM Deren Chen, ZheJiang Univ. 6 EXAMPLE 2 Let Q(x, y) denote the statement "x = y + 3." What are the truth values of the propositions Q(1, 2) and Q(3, 0)? Q(1,2)= .F. Q(3,0)= .T

EXAMPLE3 Predicates and Quantiflers 调词与量词 R(x,, 2): x+y=z What are the truth values of the propositions R(1,2,3)andR(0,0,1)? R(1,2,3)=.T R(0,0,1)=F 2/24/202111:37PM Deren Chen, ZheJiang Univ

P redica t es a nd Qua nt if iers 谓词与量词 2/24/2021 11:37 PM Deren Chen, ZheJiang Univ. 7 EXAMPLE 3 R(x,y,z): x+y=z What are the truth values of the propositions R(1, 2, 3) and R(0, 0, 1)? R(1,2,3)=.T. R(0,0,1)=.F

Predicates and Quantiflers 调词与量词 当n1时,通常P给出了x(=1,2,n之间的关系。 例如,P(x,y2)表示x位于y与z之间,是一个三元谓词。与x, yz分别用构件层、表现层、总线层代入时得到命题:构件层 位于表现层与总线层之间,其命值真值为T。再如将杭州、南 京、北京代入,则得到:杭州位于南京和北京之间,真值为F。 与n=0时(即0元谓词),命题函数就对应一个命题。 2/24/202111:37PM Deren Chen, ZheJiang Univ

P redica t es a nd Qua nt if iers 谓词与量词 2/24/2021 11:37 PM Deren Chen, ZheJiang Univ. 8 当n>1时，通常P给出了xi (i=1, 2, …, n)之间的关系。 例如，P(x, y, z)表示x位于y与z之间，是一个三元谓词。与x, y, z分别用构件层、表现层、总线层代入时得到命题：构件层 位于表现层与总线层之间，其命值真值为T。再如将杭州、南 京、北京代入，则得到：杭州位于南京和北京之间，真值为F。 与n=0时（即0元谓词），命题函数就对应一个命题

Predicates and Quantiflers 调词与量词 为了进一步讨论命题函数P(x)的真值情况,首先需要指定 个体变量x可选择的范围,即个体域( universe of discourse,or domain)。每一个个体变量x都有自己的个体域。如果没有特 别指定的个体域,则缺省为一个全个体域( total universe of discourse)即任意个体均可以作为常量对x代入。 2/24/202111:37PM Deren Chen, ZheJiang Univ

P redica t es a nd Qua nt if iers 谓词与量词 2/24/2021 11:37 PM Deren Chen, ZheJiang Univ. 9 为了进一步讨论命题函数P(x)的真值情况，首先需要指定 个体变量x可选择的范围，即个体域（universe of discourse, or domain）。每一个个体变量x都有自己的个体域。如果没有特 别指定的个体域，则缺省为一个全个体域（total universe of discourse）即任意个体均可以作为常量对x代入

Predicates and Quantiflers 调词与量词 在指定个体变量x的个体域后,该个体域中的每个个体a代 入到Px)中的所有x,就对应一个可以判定真假意义的命题Pa) 不同的个体代入后所对应的命题真值可能不同,也可能相同 例如,P(x)表示为 x2-1=(x-1)(x+1)x指定的个体域为全体整数, 2/24/202111:37PM Deren Chen, ZheJiang Univ

P redica t es a nd Qua nt if iers 谓词与量词 2/24/2021 11:37 PM Deren Chen, ZheJiang Univ. 10 在指定个体变量x的个体域后，该个体域中的每个个体a代 入到P(x)中的所有x，就对应一个可以判定真假意义的命题P(a)。 不同的个体代入后所对应的命题真值可能不同，也可能相同。 例如,P(x)表示为 x 2–1=(x–1)(x+1) x指定的个体域为全体整数