山东大学：大学数学教程《复变函数与积分变换》课程教学资源（知识点解题）第一章 复数与复变函数（1.2-1.3）

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 例3、求满足下列条件的复数z (1)z+|z|=2+i (2)2=3-a,且|z-2k2 (3)arg(z+2)=x arg(z-2)

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 例3、求满足下列条件的复数z： （1） （3） z+ | z|= 2 + i , 3 arg( 2)  z + = （2） z ai = −3 , 且 | z − 2 | 2  6 5 arg(z − 2) =

复变画数 1901 Complex Analysis and Integral Transform 解:(1)设:z=x+i则 2 X+ly+√x-+ 2+i 2 3 由 x+√x+ y=1得x=,故z=+ 4 2):==3+a则二-2=3+a-2=Ⅵ+a2<2 a的值为(-3,√3)内任一实数, 故满足条件的z有无穷多个

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 解：（1） 设：z x iy = + 则 2 2 x iy x y i + + + = +2 2 2 3 2 1 . 4 x x y y x i + + = = = + 3 由 ， 得 ,故z= 4 2 (2) 3 , 2 3 2 1 2 z ai z ai a = + − = + − = +  则 a的值为(- 3, 3)内任一实数, 故满足条件的z有无穷多个

复变画数 1901 Complex Analysis and Integral Transform (3)设二+2=ncos2+sin √3 2 5丌 5丌 z-2=r cos=+isin 6 3々+=h2l 则 √(3 2|+--r;i 72+2|+r2

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 1 1 1 3 (3) 2 cos sin 3 3 2 2 z r i r ri     + = + = +     设 2 2 2 5 5 3 1 2 cos sin 6 6 2 2 z r i r r i     − = + = − +     1 1 2 2 1 3 3 1 2 2 2 2 2 2 z r ri r r i     = − + = + +           则

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 例4求方程z3+2+2+1=0的根。并将 +z2+z+1分解因式 解 (z-1)(z+z2+z+1) 而-1=0的根为z。=1 则 1=0的其余三个根即为所求 由 得 =1=cos 0+ 2K/L+isy O+2k元 4 4

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 0 3 2 z + z + z + = 1 3 2 z + z + z + 例4 求方程 的根。并将 分解因式。 ( 1)( 1) 1 3 2 4 解 ∵ z − z + z + z + = z − ， 而z − = = 1 0 1 的根为z0 1 0 4 则 z − = 的其余三个根即为所求 1 0 4 z − = 4 0 2 sin 4 0 2 1 cos 4  k i k z + + + = = 由 得

复变画数 1901 Complex Analysis and Integral Transform 1=cos0+isin o k=0时,=。=cos0+isin0=1 k=时, Z,=cOs-+I Sin 2 k=2时,z,=Cos丌+isnx=-1 3丌 3丌 k=3时,3 coS-+i sin 2 z3+z2+z+1=0根为i,-1,-i 且z3+z2+2+1=(z-i)z+1)(x+i)

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform k = z = + i = −i 2 3 sin 2 3 3 , cos 3   时 1= cos0+isin 0 k = 0时, z0 = cos0+isin 0 =1 k = z = + i = i 2 sin 2 1 , cos 1   时 k = 2时, z2 = cos +isin  = −1 3 2  + + + = − − z z z i i 1 0 , 1, 根为 3 2 且z z z z i z z i + + + = − + + 1 ( )( 1)( )

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform §1.2复平面上的曲线和区域 复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程F(x,y)=0 和参数方程 x=X()两种形式。 ly=yo

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform §1.2 复平面上的曲线和区域 一、复平面上的曲线方程 F(x, y) = 0    = = ( ) ( ) y y t x x t 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程 两种形式

1901 Complex Analysis and Integral Transform x2+2二一代入F(x,y)=0知 曲线C的方程可改写成复数形式+2 )=0 若令z=x+ly,而z()=x(t)+(t),则 曲线C的参数方程等价于复数形式2=2()

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2i z z , y 2 z z x − = + 由 = 代入 F(x, y) = 0 知 曲线C的方程可改写成复数形式 ) 0 2 , 2 ( = + − i z z z z F z = x +iy z(t) = x(t) +iy(t) z = z(t) 若令 ，而 ，则 曲线C的参数方程等价于复数形式

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 简单曲线与光滑曲线 、连续曲线—一设x(t)=x(t)+j(1)(a≤t≤b),其中x(t),y(t) 是实变量怕连续函数,则()表示复平面上的连续曲线C 2、光滑曲线一若对∨t∈[ab,有[x(t)]+[y(t)]2≠0, 则称(1)为光滑曲线。称(a)和(b)为曲线C的起点和终点 3、若对a<1<b,a≤1sb当≠而有1)=(2)时,点(4称为曲线C的重点。 没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当( Jardan)曲线。 识别曲线的类型一教材p9)

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) z t x t iy t a t b x t y t t z t 、连续曲线——设 = +   ，其中 是实变量 的连续函数，则 表示复平面上的连续曲线C。 二、简单曲线与光滑曲线 2 2 2 [ , ] [ ( )] [ ( )] 0 ( ) ( ) ( ) t a b x t y t z t z a z b C 、光滑曲线－若对  +  ，有   ， 则称 为光滑曲线。称 和 为曲线 的起点和终点。 1 2 1 2 1 2 1 3 , ( ) ( ) ( ) 、若对a t b a t b t t z t z t z t C      ，当 而有 ＝ 时，点 称为曲线 的重点。 没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jardan）曲线。 （识别曲线的类型－教材P9）

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 、区域 1、去心邻域N。(=0) 2、内点与开集 3、区域及分类 区域一连通的开集。单连通域一无洞、无瑕点 多连通域—有洞或有瑕点

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 三、区域 1、去心邻域 ( )0 N z  3、区域及分类 2、内点与开集 区域——连通的开集。    多连通域 有洞或有瑕点 单连通域 无 洞 无瑕点 — —

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 属于D内的任一条简单闭曲线,在D内可以经过连续的变形 而收缩成一点 有界域一可被半径有限的圆域覆盖 无界域一不可被半径有限的圆域蛋盖 注:①闭区域D=区域D+D的边界,它不是区域。 ②任意一条简单闭曲线C把复平面分为三个不 相交的点集:有界区域称为C的内部;无界区 域,称为C的外部;C,称为内部与外部的边 界。(典型例题见教材P例1.2.1,例1.2.2)

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形 而收缩成一点。    无界域 不可被半径有限的圆域覆 盖 有界域 可被半径有限的圆域覆盖 — — 注：①闭区域 D = 区域D + D的边界 ，它不是区域。 ②任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不 相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区 域，称为 C的外部； C，称为内部与外部的边 界。（典型例题见教材 P8 例1.2.1 ，例1.2.2）