山东大学：大学数学教程《复变函数与积分变换》课程教学资源（知识点解题）第一章 复数与复变函数（1.1）复数及其运算（主讲：主讲：郑修才）

1901 Complex Analysis and Integral Transform 第一章复数与复变函数 1.1复数及其运算 1.2复平面上的曲线和区域 1.3复变函数 1.4复变函数的极限和连续性

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 第一章 复数与复变函数 1.1 复数及其运算 1.2 复平面上的曲线和区域 1.3 复变函数 1.4 复变函数的极限和连续性

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform §1.1复数及其运算 、复数的概念 1、产生背景 2、定义:形如z=x+i的数称为复数,其中 i=√-1称为虚单位,x,y为任意实数,且记 x=Re(z),y=Im()分别称为z 的实部与虚部

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform §1.1 复数及其运算 一、复数的概念 x =Re(z),zy ==zIm( x+ iyz) 1、产生背景 的数称为复数，其中 称为虚单位， z = x + iy i = −1 x, y x = Re(z), y = Im(z) z 2、定义：形如 为任意实数,且记 分别称为 的实部与虚部

复变画数 1901 Complex Analysis and Integral Transform 二、复数的表示法 1、(复平面上的)点表示--用坐标平面上的点 (1)此时的坐标面(称 P(x, y) 为复平面)与直角 坐标平面的区别与 联系。 X (2)复数z=x+以与点(x,y)构成 对应关系,复数z=x+iy 由(x,y)唯一确定

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 二、复数的表示法 1、(复平面上的)点表示 ------用坐标平面上的点 r θ (1)此时的坐标面（称 为复平面）与直角 坐标平面的区别与 联系。 y x P(x, y) x y (2)复数z x iy = + 与点（x,y）构成 一一对应关系，复数z=x+iy 由（x,y）唯一确定

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 2、(复平面上的)向量表示 z=x+点M(x,y)>OM (1)模——OM的长度r,记为|z,则 1=|=r=√x2+y (2)辐角(z≠0)—OM与Ox轴正向的夹角O周期性) 记4rg(z)=,则x=rcos,y=rsin

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2、(复平面上的)向量表示----- z = x + iy 点M(x, y)  OM 2 2 | z |= r = x + y （1）模—— OM 的长度 r ，记为 | z | ，则 （2）辐角( )—— 与 轴正向的夹角 (周期性) z  0 OM ox  记Arg z x r y r ( ) cos , sin = = =    ，则

1901 Complex Analysis and Integral Transform 满足-x≤ag(z)≤x的 辐角主值:辐角值(仅有一个) 记作arg(z).-x<arg(z)<x 目: 注:z=0的辐角不确定,4g(O)无意义 z≠0时,g(z)=ag(z)+2x(k=0,±1+2,…) 其中主值arg(z)的确定方法见教材 P3(1.1.6)式或借助复数向量表示

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 辐角主值: ( ) arg( ) arg z z     −     满足 的 辐角值（仅有一个）， 记作arg(z). - 即： z  0时，Arg(z) = arg(z)+ 2k ( k = 0,1,2, ) 注 ：z = 0的辐角不确定，Arg(0)无意义 其中主值 arg(z) 的确定方法见教材 P3（1.1.6）式或借助复数向量表示

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 3、三角(或极坐标)表示 z=x+iy=r(cos 6+isin 0) 由x=rcos,y=rsi6 得r=2|=x2+y2,6= arctan 4、指数表示 欧拉公式e=Co6+isin6 5、代数表示 -x+iy

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 3、三角（或极坐标）表示--- z = x + iy = r(cos + isin ) | | , 2 2 r = z = x + y x y  = arctan 由 x = r cos, y = rsin  得 4 i z re  、指数表示—— =    e cos isin i 欧拉公式 = + 5、代数表示------ z = x + iy

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 6*、复球面表示将扩充复平面中|z=+00 的所有复数唯一表示为一个点,则所有复数与复球面上 的点建立一一对应关系。 Z 复数的各种表示可相互 转换在不同的运算中可 选择不同表示式 进行运算

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复数的各种表示可相互 转换在不同的运算中可 选择不同表示式 进行运算。 N S P y z Z x 6*、复球面表示------ 将扩充复平面中 | z |= + 的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上 的点建立一一对应关系

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 三、复数的运算 1、相等一一两个复数,当且仅当实部与虚部分别相等时 才相等。 2、和、差、积、商(分母不为0)一—代数式、三角式、 指数式 3、共轭复数及运算性质 x X 2=x-y

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 三、复数的运算 1、相等——两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时 才相等。 2、和、差、积、商（分母不为0）——代数式、三角式、 指数式 z = x +iy, z x iy = − 。 3、共轭复数及运算性质 z−+zz==22yix==22iRe( Imz ), zz=|z |2 = [Re(z)]2+[Im(z)]2 z z y o x y − y x

2复变画数与和换 1901 Complex Analysis and Integral Transform 四、复数的n次方根 若z=r(CosO+ i sine),则 6+2k丌 6+2k √==r"(cos +isin (k=0,1…,n-1) W的n个值恰为以原点为中心,√/r为半径的圆周 的内接正n边形的顶点,当k=0时,Wo称为主值

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 四、复数的n次方根 1 (cos sin ), 2 2 (cos sin ) ( 0,1 , 1) n n z r i k k w z r i n n k n       = + + + = = + = − 若 则 w n r k = 0 的n个值恰为以原点为中心， 的内接正 边形的顶点，当 时， 为半径的圆周 n w0 称为主值

2复变画数与和换 1901 Complex Analysis and Integral Transform 答疑解惑 1、复数能否比较大小,为什么? 答:不能,实数能比较大小,是因为实数是有序的; 而复数是无序的,所以不能比较大小。 假设复数有大小,其大小关系应与实数中大小关系保 持一致,(因为实数是复数的特例),不妨取和加以讨论: ∵i≠0,设i>0,则i>0-i得-1>0,显然矛盾 注:复数的模、实部和虚部都是实数,辐角也是实数, 可比较大小

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 答疑解惑 答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的； 而复数是无序的，所以不能比较大小。 假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保 持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取和加以讨论： 1、复数能否比较大小，为什么？ i i i i i    −  0, 0, 0 1 0, 设 则 得 显然矛盾 注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数， 可比较大小