山东大学：大学数学教程《复变函数与积分变换》课程教学资源（知识点解题）第一章 复数与复变函数（1.4）复变函数的极限和连续性

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 典型例题 例1、求z平面上的下列图形在映射W=z下的象。 O<rL,Ot (2)0<6<,0<r<2 (3)x2-y2=C,2x=C;(4)x=,y=

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 典 型 例 题 2 例1、求z平面上的下列图形在映射 w = z 下的象。 (1) 0  r  z , ； 4   = ( ) , 4 2 0    0  r  2 ( ) x y C , 1 2 2 3 − = 2xy = C2； (4) x = , y = 

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 解(1)w=z令>l=x2-y2,V=2x 2 sw=z, arg(w)=2 arg(z) 乘法的模与辐角定理

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 解 (1) w z u x y ,v 2x y 2 2 2 =  = − = | | | | ,arg( ) 2arg( ) 2  w = z w = z 乘法的模与辐角定理

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform (1)记W=p2(z=re),则0<r<2,O=丌 映为0<p<4,=20 兀 平面内 虚轴上从点0到4i的一段(见图a) 图 (2)同理知,z平面上0<0<2,0<r<2, 映为w平面上扇形域(见图b), 4i 即0<q<,0<p<4 4 3)见教材B4例1.3.4(3) 图b

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform u v 4i 图a 4 π =  ( = ) 0   2  = w e i z re i r ， , 2 0 4, 2  映为     =  = 虚轴上从点0到4i的一段（见图a ）。 (1)记 ，则 即w平面内 0 ,0 2 4 0 ,0 4 2 r              （2）同理知，z平面上 ， 映为w平面上扇形域（见图b）， 即 4 图b v u 4i （3）见教材 P14 例1.3.4（3）

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform (4)将直线x=映为l=x2-y2y=2,消y, V 建立L.1所满足的象曲线方程 →v2=42(x2-) u 是以原点为焦点,开口向左的抛物线(见图c1)图c 将线y=1映为=x2-12,=2x,消x得 12=42(12+) 其是以原点为焦点,开口向右的抛物线(见图c2)

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform x =  映为 u, v （4） 将直线 建立 所满足的象曲线方程 u  y ,v 2y 2 2 = − = ，消 y ， 4 ( ) 2 2 2  v =   −u 是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图c1) v u 图c 1 2 4 ( ) 2 2 2 v =   +u 其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图c2）。 y =  2 2 将 线 映为 u x v x = − =   , 2 ，消 x 得

1901 Complex Analysis and Integral Transform 例2、求下列曲线在映射v 下的象 (1)x2+y2=9(2)x2+(y-1)2=1 解法一(1)w=1 2 x-+ 3<D 消x,y建立,v所满足的象曲线方程或由两个实 象曲线方程即得象曲线方程→/,代入原 二元函数反解解得x=x(u,),yy(u,v)后 x-+

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2 2 （1）x y + = 9 2 2 （2）x y + − = ( 1) 1 z w 1 例2、 求下列曲线在映射 = 下的象 解法一（1） 2 2 2 2 , 1 x y y v x y x u z w + − = + =  = 消 x, y 建立 u, v 所满足的象曲线方程或由两个实 二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原 象曲线方程即得象曲线方程 9 1 1 2 2 2 2 = +  + = x y u v

复变画数 1901 Complex Analysis and Integral Transform (2)W=-→ →x+y= L+l+1 Z L+1 1m≠D L 代入原象曲线方程,得 → L-+ u+y 2 平面内的一条直线

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2 2 1 1 1 u v u iv u iv x iy w z z w + − = + （2） =  =  + =        + − = + =  2 2 2 2 u v v y u v u x 2 1 ( ) ( 1) 1 2 2 2 2 2 2 − =  = − + − + + v u v v u v u 代入原象曲线方程，得 w平面内的一条直线

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 解法二 (1)将x2+y2=9化为:2=9(或|z|=3 →z 代入原象方程得 9→w·W=(或|v|= 化为实方程形式W2+ (2)留作练习

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 解法二 zz = 9 (或| z|= 3) w ,z w z z w 1 1 1 =  = = 2 2 （1）将x y + = 9化为 9 1 1  = w w 代入原象方程得 9 1  ww = 1 | | 3 （或 w = ） 9 2 2 1 化为实方程形式 u + v = （2）留作练习

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 例3将函数f(=)=x(1+ )+iy(1 x-+ X+y 改写成关于的解析式 解法一(共轭法)将x=(z+2),y=(-2) 2 代入得f(z)=z+ 2 解法二(拼凑法)将f(=)的表达式凑成x+的因式 J∫()=(+m)+1 2+ z=2+ x-+ 2·2

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2 2 2 2 1 1 3 ( ) (1 ) (1 ) f z x iy x y x y z = + + − + + 例 将函数 改写成关于 的解析式. z f z z z z i x z z y 1 ( ) ( ) 2 1 ( ), 2 1 ( ) = + = + = − 代入得 解法一 共轭法 将 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) f z x iy f z x iy x iy z z z x y z z z + = + + − = + = + +  解法二 拼凑法 将 的表达式凑成 的因式

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 解法三(设零法) 令卫=0得f(x)的表达式.再以z代换x得f(z) f(x)=x(1+-2)=x+-→f(2z)=z+ x x 注:象曲方程与原象曲线方程的表示 多采用一致形式,即要么均为实方程 形式,要么均为复数方程的形式

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2 ( ) 0 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) (1 ) ( ) y f x z x f z f x x x f z z x x z = = + = +  = + 解法三 设零法 令 得 的表达式.再以 代换 得 注：象曲方程与原象曲线方程的表示 多采用一致形式，即要么均为实方程 形式,要么均为复数方程的形式

复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform §1.4复变函数的极限和连续性 复变函数的极限 1、定义 形式---与一元实函数的极限一致,记limf(=)=A 理解---与二元(多元)实函数的极限一致(几何描述 对任何二→>的方式路径,f(=)趋近于同一个 确定的复数A 掌握---判别limf(z)不存在的方法

张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 一 、 复变函数的极限 § 1.4 复变函数的极限和连续性 1、 定义 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ), ( ) lim ( ) z z z z f z A z z f z A f z → →  − − − =   −−−   →    −−−  形式 与一元实函数的极限一致,记 理解 与二元 多元 实函数的极限一致 几何描述 对任何 的方式路径, 趋近于同一个 确定的复数 掌握 判别 不存在的方法