清华大学：《组合数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 容斥原理和鸽巢原理

s31容斥原理引论 第三章容斥原理和鸽巢原理 §1容斥原理引论 例[1,20]中2或3的倍数的个数 解]2的倍数是:2,4,6,8,10 12,14,16,18,20。10个

第三章 容斥原理和鸽巢原理 §1 容斥原理引论 例 [1，20]中2或3的倍数的个数 [解] 2的倍数是：2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20。 10个 §3.1 容斥原理引论

§32容斥原理 3的倍数是:3,6,9,12,15, 8。6个 但答案不是10+6=16个,因为6, 12,18在两类中重复计数,应 减 去。故答案是:16-3=13

3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应 减 去。故答案是：16-3=13 §3.2 容斥原理

§32容斥原理 容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 DeMorgan定理]论域U,补集A A={x|x∈U且x≠A},有 (a)A∪B=A∩B ()A∩B=AB

容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A A x x U x A =   { | } 且 ,有 §3.2 容斥原理 (a) A B A B = (b) A B A B =

§32容斥原理 证:(a)的证明 设 ∈H∩B,则xg A∪B xA∪B相当于xA和xEB 同时成立,亦即 A∈A∪B→x∈A∩B(1)

证：(a)的证明。 设 ,则 相当于 和 同时成立，亦即 x A B x AB x AB x A xB A A B x A B    (1) §3.2 容斥原理

§32容斥原理 反之,若x∈A∩B,即x∈Ax∈B 故xA和x∈B亦即xA∩B x∈A∩B→x∈A∪B(2) 由(1)和(2)得 x∈A∩B分x∈A∪B (b)的证明和(a)类似,从略

反之，若 x A B x A x B    , 即 和 故 x A x B x A B    和 亦即. x x   A B  A B (2) 由（1）和（2）得 x  A B  x A B (b)的证明和（a)类似，从略. §3.2 容斥原理

§32容斥原理 DeMorgan定理的推广:设 A42,…,4,是的子集 则(a)A1∪A2U.UA1=A1∩A2…A2 (P)UUU=∩∩∩ 证明:只证(a)N=2时定理已证。 设定理对n是正确的,即假定:

DeMogan定理的推广：设 1, 2 ,..., A A A U n 是 的子集 2 1 2 ... ... 则 (a)A1 A A A A A n n = 2 1 2 ... ... (b)A1 A A A A A n n = 证明：只证(a). N=2时定理已证。 设定理对n是正确的，即假定： §3.2 容斥原理

§32容斥原理 A1∪A∪…An=A1∩A2…A,正确 A1UA2∪. UAUA=(AU…JA1)UA21 =(A4UA2U…UA1∩A1 =A1∩A21.An∩A1 即定理对n+1也是正确的

2 1 2 ... ... A1 A A A A A n n = 正确 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ... ( ... ) ( ... ... n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A + + + + = = = 1 则 A 即定理对n+1也是正确的。 §3.2 容斥原理

§32容斥原理 §2容斥原理 最简单的计数问题是求有限集合A 和B并的元素数目。显然有 定理: A∪B|=4+|B-A∩B(1) 即具有性质A或B的元素的个数等于具

§2 容斥原理 最简单的计数问题是求有限集合A 和B的并的元素数目。显然有 即具有性质A或B的元素的个数等于具 A B A B A B = + − (1) 定理： §3.2 容斥原理

§32容斥原理 有性质A和B的元素个数。 U A 40B B

有性质A和B的元素个数。 U A A B B §3.2 容斥原理

§32容斥原理 证若A∩B=(,则|A∪B|=|A|+|B A|=A∩(B∪B) =(A∩B)∪(AnB) =A∩B+A∩B|(1) 同理|B|=|B∩A|+|B∩A(2) A∪B|=(An(B∪B))∪(B∩(A∪A =(A∩B)∪(AnB)∪(B∩A)∪(B∩A) A∩B|+A∩B|+|B∩A|(3)

§3.2 容斥原理 证 若A∩B=φ，则 | A∪B |= |A| + |B| | A |＝| A ∩( B∪B) | ＝| (A∩B)∪(A∩B)| ＝| A∩B | + | A∩B | ( 1 ) 同理 | B | ＝| B∩A | + | B∩A | ( 2 ) | A∪B |＝|(A∩( B∪B))∪(B∩(A∪A))| ＝|(A∩B)∪(A∩B)∪(B∩A)∪(B∩A)| ＝| A∩B| + |A∩B | + | B∩A| ( 3 )