浙江大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 二元关系

第三章二元关系

第三章 二元关系

§1二元关系 [定义]相关:按照某种规则,确定二个对象或多个对象之 间有关系,称这二个对象或多个对象是相关的。 注意:相关性与指定的规则有关 (1)扑克牌中的方块k与梅花k 同花关系:不相关 同点关系:相关 (2)父子二人 同辈关系:不相关 父子关系:相关

§１二元关系 [定义]相关:按照某种规则，确定二个对象或多个对象之 间有关系，称这二个对象或多个对象是相关的。 注意:相关性与指定的规则有关。 (1)扑克牌中的方块ｋ与梅花ｋ 同花关系：不相关 同点关系：相关 (2)父子二人 同辈关系：不相关

注 二元关系:二个对象之间相关的关系 多元关系:多个对象之间的关系 多元关系常化成二元关系来研究 无序的二元关系:方块k与梅花k,谁在前,谁在 后都还是同点的 有序的二元关系:父子关系,不能交换父与子的次序 又如: (1)a+b=偶数,a与b是无序的 用[a,b]表示无序对 (2)a≤b,a与b是有序的二元关系,叫作a相关 于b,记成arb,用(a,b)表示有序对 (3)无序的二元关系可用有序的二元关系表示 即(a,b)与(b,a)都属于这种二元关系

注： 二元关系：二个对象之间相关的关系 多元关系：多个对象之间的关系 多元关系常化成二元关系来研究 无序的二元关系：方块ｋ与梅花ｋ，谁在前，谁在 后都还是同点的 有序的二元关系：父子关系，不能交换父与子的次序 又如: （1） ａ＋ｂ＝偶数，ａ与ｂ是无序的 用［ａ，ｂ］表示无序对 （2）ａ≤ｂ，ａ与ｂ是有序的二元关系，叫作ａ相关 于ｂ，记成ａｒｂ，用（ａ，ｂ）表示有序对 （3）无序的二元关系可用有序的二元关系表示 即（ａ，ｂ）与（ｂ，ａ）都属于这种二元关系

定义2:二元关系——按照某种规定,定义了一 个有序对(a,b)的集合R,其中a∈A,b∈ B,称R为A到B的一个二元关系。 注意:二元关系是指满足某规律的有序对的全体。 R={(a,b)|a∈A,b∈B,arb} 其中arb读作a相关于b 定义3:当A=B时,R是A到A的二元关系, 称为A上的二元关系

定义2: 二元关系----按照某种规定，定义了一 个有序对（ａ，ｂ）的集合Ｒ，其中ａ∈Ａ，ｂ∈ Ｂ，称Ｒ为Ａ到Ｂ的一个二元关系。 注意: 二元关系是指满足某规律的有序对的全体。 Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，ａｒｂ｝ 其中ａｒｂ读作ａ相关于ｂ。 定义3: 当Ａ＝Ｂ时，Ｒ是Ａ到Ａ的二元关系, 称为Ａ上的二元关系

例:R={(a,b)|a/b,a,b∈N 是自然数集N上的二元关系 定义:二元关系的表示:因为二元关系本身也是 集合,也可用穷举法,描述法来表示,还可用表格, 图示,矩阵法表示 例如: A={张三,李四,王五,赵六} B={100米,跳高,铅球,足球,跨栏} 穷举法表示 R={(张三,铅球),(张三,足球), (李四,100米),(李四,跳高) (王五,跨栏),(赵六,100米)} 是运动会的报名表

例：Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ ａ/ｂ，ａ，ｂ∈Ｎ｝ 是自然数集Ｎ上的二元关系 定义: 二元关系的表示：因为二元关系本身也是 集合，也可用穷举法，描述法来表示，还可用表格， 图示，矩阵法表示。 例如： Ａ＝｛张三，李四，王五，赵六｝ Ｂ＝｛１００米，跳高，铅球，足球，跨栏｝ Ｒ＝｛（张三，铅球），（张三，足球）， （李四，１００米），（李四，跳高）， （王五，跨栏），（赵六，１００米）｝ 是运动会的报名表

表格表示法:用表格表示一目了然 「00米跳高铅球足球跨栏 张三 李四√ 王五 赵六 用字母数字来代替这些元素 A=a, b, c, d B={1,2,3,4,5}

100 米 跳高 铅球 足球 跨栏 张三 √ √ 李四 √ √ 王五 √ 赵六 √ Ａ＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝ Ｂ＝｛１，２，３，４，５｝ 表格表示法：用表格表示一目了然

图示法:关系图,直观 2 b 3 4 d 5

a b c d 1 2 3 4 5 图示法：关系图，直观

相关矩阵法表示: 把A,B集合内元素排好序 12345 a|00110 饣b11000 = c|00001 0000

相关矩阵法表示： 把Ａ，Ｂ集合内元素排好序 Ｒ＝ ( ) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 i j a d c b a =             １ ２ ３ ４

由于直交积A×B={(a,b)|a∈A,b∈ B},二元关系R={(a,b) a∈A,b∈B, arb},可见二元关系是直交积A×B的子集。若R =A×B,则相关矩阵元素全为1 1 1 R=/I1 11

由于直交积Ａ×Ｂ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈ Ｂ｝，二元关系Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ， ａｒｂ｝，可见二元关系是直交积Ａ×Ｂ的子集。若Ｒ ＝Ａ×Ｂ，则相关矩阵元素全为１， Ｒ＝             1 1 1 1 1 1 1 1 1       

(1)若R=A×B,称此二元关系为普遍关系 (2)设A={a1,a2,…,an} R={(a1,aj)|a;,a;∈A 若R={(a,a1)|a;∈A 称R为恒等关系,用I表示,是单位矩阵 100 010 0 A=001 0 000

注： （1）若Ｒ＝Ａ×B，称此二元关系为普遍关系 （2）设Ａ＝｛ａ1，ａ2，…，ａn｝ Ｒ＝｛（ａi，ａj）｜ａi，ａj∈Ａ｝ 若Ｒ＝｛（ａi，ａi）｜ａi∈Ａ｝ 称Ｒ为恒等关系，用ＩA表示，是单位矩阵 A=                 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0         