《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第6章 无穷级数 Ch 6-6 幂级数的应用

第六章第六节函数幕级数展开式的应用一、近似计算二、 欧拉公式O0000X机动目录上页下页返回结束

第六节 一、近似计算 二、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章

一、近似计算例1.计算 5/240的近似值,精确到10-4解: /240=/243-3 =3(1-+)%111.4.91.411353.3! 31252.2! 383451111.4.91.41.4.9.14+X312313854.4!53.3!.2!2111.41< 0.5×10-41+3+So52.2!81)81115/240 ~ 3(13-0.00741~2.99262Soeo0x机动目录上页下页返回结束

一、近似计算 + x = + mx + m (1 ) 1 + − 2 2! ( 1) x m m   + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) (−1  x  1) 例1. 计算 5 240 10 . −4     r2 = 3 2 8 3 1 5 2! 1 4    3 12 3 1 5 3! 1 4 9     +  +     + 4 16 3 1 5 4! 1 4 9 14    81 8 1 1 1 3 1 25 6 − =   ) 3 1 5 1 240 3(1 4 5   −   3− 0.00741  2.9926 的近似值, 精确到    +      + +         2 2 8 81 1 81 1 1 3 1 5 2! 1 4 3 4 0.5 10−   3 1   = 4 3 1 5 1 −  2 8 3 1 5 2! 1 4    −  −    − 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 解: 5 5 240 = 243−3 5 1 4 3(1 ) 3 1 = −    机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.计算ln2的近似值,使准确到10-4解：已知fo24xxln(1 + x) =(-1<x≤1)X234342+X(-1≤x<1)ln(1 - x) =X4231+ x故= ln(1 + x) - ln(1 - x)In1-x173(-1<x<1)2(x+=x+一X3511 + x得2于是有X31-x11In2= 2333353°eooox机动目录上页下页返回结束

( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4  − = − − − − − −  x  x x x x x  例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 . −4 解: 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得       = +  3 +  5 +  7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 , 3 1 x = 于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在上述展开式中取前四项111322111+314.3931111991<0.2x×1078732111111ln2~2~ 0.69313335373357Oo0x机动目录上页下页返回结束

4 9 3 1 9 1 2     r =        11 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − =          +  +  +  3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2  0.6931 11 3 1 11 1 +     +  13 + 3 1 13 1 9 4 3 1  = 4 0.2 10 78732 1 − =   在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：在展开式1+ x.3rs+1n2. 0(x+=X31-x51n为自然数），得中,令 x=2n+1n+12n2n+nLY1:. ln(n + 1)= lnn + 22n+132n+D2n+具此递推公式可求出任意正整数的对数，如1+*++～1.6094ln5= 2ln2±2O0000X机动目录上页下页返回结束

说明: 在展开式 中,令 2 1 1 + = n x       + + + + + + = + 3 ) 5  2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 2 1 ln n n n n n 得 ln(n +1) 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如       = + + 3 + ) 5 + 9 1 ( 5 1 ) 9 1 ( 3 1 9 1 ln5 2ln 2 2 1.6094 ( n为自然数) ,       + + + + + + = + 3 ) 5  2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 ln 2 n n n n = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

fs求 sin9°的近似值，并估计例3.利用 sinx~x-3!误差元元(弧度)X9解：先把角度化为弧度9920180元元+二(sin20201元5<=×10-50.2)55!2012031元元元sin~ 0.157080 -0.00064620203!20～ 0.15643 10-5误差不超过Oe000X机动目录上页下页返回结束

 = − 3 + 5 − ) 7 + 20 ( 7! 1 ) 20 ( 5! 1 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin      例3. 利用 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 9 = (弧度) 5 2 ) 20 ( 5! 1  r  5 (0.2) 120 1  5 10 3 1 −   3! sin 3 x x = x − 5! 5 x + 7! 7 x − +  0.157080 − 0.000646 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin      − 误差不超过 5 10− 的近似值 , 并估计  0.15643 机动 目录 上页 下页 返回 结束

dx 的近似值,精确到10-4例4.计算积分P0(取～0.56419)322解： e-x21!2!3!2n8xn= Z(-1)(18<x<+8)n!n=02n122822X2Z(-dxdxe00n!/元元n=0-1)n28281(-1)nI2n2(12NdxXn=on!(2n +1) 22n+1n!0元元n=0oeo0x机动自录上页下页返回结束

( 取 例4. 计算积分 的近似值, 精确到 0.56419) 1   解: 1 2 = −x e ! ( 1) 2 0 n x n n n   = = − (−  x  +) e x x d 2 2 2 1 0 −   dx 2 2 1 0      =  ! ( 1) 2 0 n x n n n   = −   = − = 0 ! 2 ( 1) n n  n x x n d 2 0 2 1  1! ( ) 2 −x + 2! ( ) 2 2 −x + + − + 3! ( ) 2 3 x   =  − = 0 ! 2 ( 1) n n  n 2 1 2 1 n+ (2n +1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2da11122.326.7.3!24.5.2!11104>n≥4取n=4.则所求积分近似值为211122.324.5.2!26.7.3!V元～ 0.5205O0000?机动目录上页下页返回结束

( ) 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6   −   +   −   e −x dx = 2 2 1 0 2          +   −   +  = −  2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6  n n n n r 2 !(2 1) 2 1 1 +    4 10−  2 4  !(2 +1) 2 10 n 则 n 应满足  n n e x x d 2 2 1 2 0  −  则所求积分近似值为 欲使截断误差  0.5205 机动 目录 上页 下页 返回 结束

sinx例5.计算积分dx的近似值,精确到10-40xsin x解：由于lim1,故所给积分不是广义积分xx-0若定义被积函数在 x=0处的值为1，则它在积分区间上连续，且有幂级数展开式：f4o42nsinxxX7!5!3!(2n + 1)!x11(-1)n1 sin x3.3!105.5!(2n + 1) ·(2n + 1)!x11<0.3×10-47.7!35280~1-0.05556±0.00167 ~0.9461O000X机动目录上页下页返回结束

例5. 计算积分 的近似值, 精确到 解: 由于 1, sin lim 0 = → x x x 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间  + + = − + − + + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 2 n x x x x x x n n x x x d 1sin 0  =1 −  + 5 5! 1  + +  + − + (2 1) (2 1)! ( 1) n n n r3  1− 0.05556 + 0.00167 上连续, 且有幂级数展开式 :  0.9461 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 欧拉(Euler)公式8对复数项级数?(un +ivn)n=188若un=u,Zvn=v,则称①收敛，且其和为u+iv.n=1n=188|un +ivn |=Zu, +v?若I收敛，则称①绝对收敛n=1n=1由于unn?+，+，故知888un，yn 绝对收敛！Z(un +ivn)绝对收敛n=1n=1n=18Z(un+ivn)收敛↓n=1oe000x欧拉目录上页下页返回结束

二、欧拉(Euler)公式 则称 ① 收敛 , 且其和为 ( ) 1 n n n  u + i v  = 绝对收敛 , 1   n= n u ( ) 1 n n n  u + i v  = 收敛 . , 1 u u n  n =  = , 1 v v n  n =  = 若 n n n  u + i v  =1 u + i v. 2 2 1 n n n =  u +v  = 收敛, 若 对复数项级数 , 2 2 n n n u  u + v 2 2 n n n v  u + v ①   n=1 n v 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束