《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第6章 无穷级数 Ch 6-2,3 数项级数及审敛法

第六章第二节正项级数的审敏法一、基本定理二、 比较审敛法三、比值审敛法四、根值审敛法O0000x机动目录上页下页返回结束

二、比较审敛法 三、比值审敛法 第二节 一、基本定理 正项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章 四、根值审敛法

一、正项级数及其审敛法8ZUn若un≥0,则称为正项级数，n=18Z二部分和序列S,un收敛二定理1.正项级数n=1(n =1,2,)有界8Ziun收敛，则Sn收敛，故有界证：“”若n=1cC37：un≥0，：部分和数列（Sn单调递增8又已知（Sn)有界，故(Sn}收敛，从而un也收敛n=1O0000x机动目录上页下页返回结束

一、正项级数及其审敛法 若  0, un   n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

88设Zun,Zvn是两个正项级数，定理2（比较审敛法）n=1n=1且存在 NεZ+,对一切n>N,有un≤kvn(常数k>0),则有808Zun也收敛;(1)若强级数Vn收敛，则弱级数n=1n=188Tun发散，则强级数Vn也发散(2)若弱级数n=1n=1证：因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，故不妨设对一切 nEZ+,都有unkvn令Sn和αn分别表示弱级数和强级数的部分和，则有0e000x机动自录上页下页返回结束

都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Sn≤kon8vn收敛,则有=limn(1)若强级数n0n=1因此对一切nEZ+，有 Sn≤ko8un也收敛，由定理1可知，弱级数n=180Ztun发散,则有 lim Sn=00,(2)若弱级数n=1n-008Z因此limn=，这说明强级数Vn也发散，n>0n=1O0000x机动自录上页下页返回结束

(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

111例1.讨论p级数1++.(常数p>0)2p3Php的敛散性解:1）若 p≤1,因为对一切 nez+1hpn8发散，由比较审敛法可知p级数≥而调和级数n=inpn=1 n发散，Oe00x机动目录上页下页返回结束

例1. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数   =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1  发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1≤一,故2)若p>1,因为当n-1≤x≤n时,rpnp一hdxhb2Fn2- +/201np-1(n+ 1)p-126111n→8ZCn=-n(n + 1)p-1RP-Pkk=1故强级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛O0000?机动目录上页下页返回结束

p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n p n p x n n 1 d 1 1  −  n n p x x 1 d 1   − −   − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数   − −   − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n   + −   = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n  1 2) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束

调和级数与p级数是两个常用的比较级数若存在NeZ+，对一切n≥N.8(1)un≥二，则Zun发散;nn=181(2)(p>l)，则un收敛.hn=1O0000?机动目录上页下页返回结束

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N Z 对一切 n  N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

81Z发散.例2.证明级数n(n+1)n=1 1证：因为111(n=1,2,.)/n(n + 1)n+l(n +1)8811ZZ发散而级数n+]kn=1k=2根据比较审敛法可知，所给级数发散O0000x机动目录上页下页返回结束

证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 +  n n + n 而级数   = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设两正项级数定理3.（比较审敛法的极限形式）88un =l,则有Zun，vn满足limVnn=1n=1n-→>0 (1)当00,存在NeZ+,当n>N时un-l|<(l)NnOe00x机动自录上页下页返回结束

定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(n>N)(l -ε)n ≤un ≤(l +)vn88ZvnZu,与(1)当0N),由定理2 知88若vn收敛，则u,也收敛;n=1n=1un>1,即(3)当l=时，存在NεZ+,当n>N时Vn8Zyn发散，un>Vn，由定理2可知,若n=1ac则u,也发散.n=1oe000x机动目录上页下页返回结束

n n n (l − )v  u  (l + )v 由定理 2 可知   n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; (n  N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v ，由定理2可知, 若   n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知   n=1 n 若 v 收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束